2) Ένας ορειβάτης ακολουθεί ένα ορεινό μονοπάτι από τα χαμηλά προς τα ψηλά. Ξεκινάει την ανοδική πορεία του ακριβώς στις 14.00 (2 το απόγευμα) της Δευτέρας. Ο ρυθμός κίνησής του δεν είναι σταθερός. Ανά διαστήματα σταματάει για ξεκούραση και για να απολαύσει τη θέα, κ.λ.π.
Μετά από τρεισήμισι (3,5) ώρες φθάνει στον προορισμό του στην κορυφή. Εκεί διανυκτερεύει και την επόμενη μέρα(Τρίτη) ξεκινάει ακριβώς στις 14.00 (2 το απόγευμα) για την επιστροφή ακολουθώντας το ίδιο μονοπάτι. Ο ρυθμός κίνησής του αυτή τη φορά είναι σταθερός και κάνει επιπροσθέτως συνολικά 4 ισόχρονες μεταξύ τους στάσεις ,πριν φτάσει στην αρχή του μονοπατιού . Ο συνολικός χρόνος κατάβασης είναι 2,5 ώρες. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχει ένα σημείο της διαδρομής στο οποίο βρέθηκε ακριβώς την ίδια ώρα και την Δευτέρα και την Τρίτη;
3). Έστω οι φυσικοί αριθμοί από το 1 έως το 100. Μπορείτε να επιλέξετε 55 αριθμούς από αυτούς, έτσι ώστε να μην υπάρχουν 2 ανάμεσά τους που να διαφέρουν κατά 10;
Καλό τριήμερο σε όλους! Απαντήσεις-σχόλια (εκ μέρους μου) από Δευτέρα βράδυ ή Τρίτη. :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΛύση Νο.1
ΑπάντησηΔιαγραφήΧρωματίζουμε τους κύβους του τυριού έτσι ώστε κάθε δυο κύβοι που έχουν κοινή έδρα έχουν διαφορετικά χρώματα (κόκκινο-μπλε) .Τους τέσσερεις γωνιακούς μικρούς κύβους τους χρωματίζουμε κόκκινους. Ο ποντικός πρέπει να διασχίσει 27 κύβους ξεκινώντας από ένα κόκκινο κύβο και το χρώμα στην διαδρομή του θα εναλλάσσε-ται διαδοχικά ( κόκκινο-μπλε-κόκκινο….) .Ο αριθμος 27 είναι περιττός αριθμός άρα θα καταλήξει σε κόκκινο κύβο, αλλά ο κύβος στο κέντρο του τυριού είναι μπλε , κατά συνέπεια είναι αδύνατη η διαδρομή που ζητείται από το πρόβλημα.
@Papaveri: Πολύ σωστά για το 1).!
Διαγραφή2) Θεωρώντας ότι το "ίδια ώρα" σημαίνει αριθμητική σύμπτωση και όχι ίδιο χρόνο (παγίδα!) τότε το πρόβλημα είναι ίδιο με το δύο άνθρωποι ξεκινούν από την αρχή του μονοπατιού ο ένας και το τέλος του μονοπατιού ο άλλος την ίδια ώρα, 14:00 και φτάνουν αντίστοιχα στην κορυφή στις 17:30 ο ένας και στην αρχή στις 16:30 ο άλλος, ακολουθώντας τις διαδρομές όπως περιγράφονται.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ πιθανότητα να συναντηθούν σε κάποιο σημείο είναι 100% (βεβαιότητα), ακόμη και αν ο πρώτος καθυστερήσει να ξεκινήσει μέχρι τις 16:30+, ο δεύτερος θα τον συναντήσει εκεί, στην αρχή.
1) Συμφωνώ ότι το 27ο, το κεντρικό (το μεσαίο της 2ης στρώσης προφανώς), δεν τρώγεται αλλά δεν αντιλαμβάνομαι αν ήταν μόνο αυτό τι μας εμποδίζει να υπολογίσουμε τον χρόνο που κάνει να φάει τα 26 τυράκια. Νομίζω όμως ότι δεν μπορεί να φάει ούτε το 26ο τυράκι διότι ξεκινώντας από γωνία στην πάνω στρώση θα καταλήξει σε γωνία, θα κατέβει στην αντίστοιχη γωνία της 2ης στρώσης και αφού δεν μπορεί να φάει το μεσαίο θα κινηθεί περιμετρικά, άρα θα καταλήξει σε μεσαίο περιμετρικό της 2ης και θα κατέβει στο αντίστοιχο από κάτω μεσαίο της 1ης, όπου έχει δύο δυνατές διαδρομές, ή θα κινηθεί περιμετρικά και θα καταλήξει σε γωνιακό της περιμέτρου και δεν θα μπορεί να πάει στο κεντρικό της 1ης στρώσης-διαγώνια κίνηση- ή αν κινηθεί προς το μεσαίο της 1ης θα μείνει ένα γωνιακό αφάγωτο.
Αν κάνω λάθος, πού κάνω το λάθος?
Για το 2) η πιθανότητα είναι πραγματικά 1.Εφόσον οι ίδιες διαδρομές ξεκινούν την ίδια ώρα, Δευτέρα και Τρίτη, υποχρεωτικά τέμνονται χρονικά, τουλάχιστον μία φορά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΌταν δύο σημεία είναι εκατέρωθεν μιας γραμμής (μονοπατιού) και δεν μπορεί να γίνει υπέρβαση(by-pass) από τα άκρα(όρια) ,όπως στην περίπτωσή μας, τότε μια γραμμή(καμπύλη) που συνδέει αυτά τα σημεία υποχρεωτικά τέμνει την πρώτη, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα κοινό χρονικό σημείο στις δύο διαδρομές στο ίδιο μονοπάτι.
Είναι το τοπολογικό ανάλογο του θεμωλιώδους για την Τοπολογία θεωρήματος του "κοινού σημείου" (fixed point theorem).
Στο πρόβλημα 3). η απάντηση είναι ότι η ζητούμενη επιλογή είναι αδύνατη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑσχέτως ποιοι 55 αριθμοί επιλεχθούν ,θα υπάρχουν δύο που θα διαφέρουν κατά 10.
Γενικά, βάσει της Α.Τ.Π (Αρχή του Περιστερώνα),αν επιλέξουμε ν+1 ακεραίους από οποιοδήποτε σειρά 2ν συνεχόμενων ακεραίων,θα υπάρχουν πάντα κάποιοι δύο που θα διαφέρουν κατά ν. Απόδειξη: Oι 2ν συνεχόμενοι αριθμοί:
{κ+1, κ+2,...,κ+2ν} μπορούν να ομαδοποιηθούν σε ν ζευγάρια: {k+1, κ+ν+1}, {κ+2, κ+ν+2}, ...,
{κ+ν, κ+2ν}. Άρα ,βάσει Περιστερώνα, αν επιλεγούν ν+1 ακέραιοι, θα υπάρχουν 2 που ανήκουν στο ίδιο γκρουπ.
Το ίδιο με την περίπτωσή μας (για ν=10).
Π.χ αν γκρουπάρουμε τους 100 αριθμούς ως εξής:
{1,2,..,20} {21,22,23,...,40}, {41,42,...,60}
{61,62,...,80}, {81,82,...,100}.
Αν επιλέξουμε 55 αριθμούς λοιπόν, υποχρεωτικά θα επιλέξουμε τουλάχιστον 11 από κάποια ομάδα.Από αυτή την ομάδα (βάσει των παραπάνω,για ν=10), θα υπάρχουν 2 που θα διαφέρουν κατά 10.
Να προσθέσω ότι όχι μόνο 55 αριθμούς δεν μπορούμε να επιλέξουμε αλλά ούτε 51, διότι και με τους 51 θα αναγκασθούμε να επιλέξουμε 11 από κάποια ομάδα από τις
ΑπάντησηΔιαγραφή"{1,2,..,20} {21,22,23,...,40}, {41,42,...,60}
{61,62,...,80}, {81,82,...,100}." και θα υπάρχουν 2 που θα διαφέρουν κατά 10.