Ένα από τα ωραιότερα και κομψότερα θεωρήματα της θεωρίας αριθμών είναι το λεγόμενο "θεώρημα των τεσσάρων τετραγώνων" του Lagrange, το οποίο λέει ότι "Κάθε θετικός ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων ακεραίων". Η απόδειξη του θεωρήματος, την οποία έδωσε το 1770 ο Lagrange, είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα, καθώς χρησιμοποιεί τη "μέθοδο της καθόδου", ένα ισχυρό εργαλείο της θεωρίας αριθμών το οποίο θα δούμε στη συνέχεια.
Η απόδειξη του θεωρήματος διευκολύνεται ιδιαίτερα από μια ταυτότητα του Euler, που λέει ότι αν $x_i, y_i (i=1...4)$ τυχόντες ακέραιοι αριθμοί, τότε υπάρχουν ακέραιοι $z_1,..,z_4$ (που εκφράζονται με απλό τρόπο από τα xi, yi) τέτοιοι ώστε
$(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=$
$=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2$.
Δηλαδή το γινόμενο δύο αριθμών, που γράφονται σαν αθροίσματα τεσσάρων τετραγώνων, γράφεται επίσης σαν άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων.
Διαβάστε περισσότερα εδώ.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου