Παρασκευή 14 Ιουνίου 2013

▪ $c^2 + 2ab=?$

Aν $a, b, c$ ακέραιοι αριθμοί, τέτοιοι ώστε
$a^2 + 2bc = 1$ 
$b^2 + 2ca = 2012$
να βρεθεί η τιμή της παράστασης $c^2 + 2ab$.
Titu Andreescu
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 14.6.13
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΧΟΝΔΡΟΣ21 Ιουνίου 2013 στις 3:22 π.μ.

    Αφαιρουμε την πρωτη εξισωση απο την δευτερη, παραγοντοποιουμε και παιρνουμε:
    (b-a)(b+a-2c)=2011
    ομως ο 2011 αναλυεται σε γινομενο 2 παραγοντων με 4 τροπους στους ακεραιους:
    2011=1*2011=(-1)*(-2011)=2011*1=(-2011)*(-1)
    αρα b-a=1 ή -1 ή 2011 ή -2011
    b-a=1 --> (a,b,c)=(-1,0,-1006) και (2011/3,2014/3,-1004/3)
    b-a=-1 --> (a,b,c)=(1,0,1006) και (-2011/3,-2014/3,-1004/3)
    b-a=2011 και b-a=-2011 αφηνονται ως ασκηση! :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)