▪ Πόσα μηδενικά έχει στο τέλος ο ν!

Άραγε πόσα μηδενικά έχει στο τέλος του ο ν!; Πώς θα μπορούσε κάποιος να αντιμετωπίσει ένα τέτοιο πρόβλημα;

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνει είναι να ψάξει για παραδείγματα. Έτσι για παράδειγμα έχουμε: 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040, 8!=40320, 9!=362880 και 10!=3628800.

Παρατηρούμε από τα παραδείγματα ότι το πρώτο μηδενικό εμφανίζεται στο 5!, ενώ δύο εμφανίζονται για πρώτη φορά στο 10!. Τι είναι αυτό που κάνει το 5! να έχει ένα μηδενικό, ενώ το 10! να έχει δύο μηδενικά; Η απάντηση είναι προφανής: το 10! έχει ένα περισσότερο 5 στην ανάλυσή του σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Έτσι αυτό το 5, πολλαπλασιαζόμενο με το 2 μας δίνει ένα 10 στην ανάλυση, που σημαίνει ότι ο αριθμός τελειώνει σε ένα περισσότερο 0 από το 5!, η ακόμα και το 9!.
Παρατηρούμε ακόμα ότι για να τελειώνει ένας αριθμός σε 0, θα πρέπει να διαιρείται με 10, και μάλιστα μία φορά για κάθε 0 στο τέλος. Όμως $10=5\cdot2$, και αυτός είναι ο μοναδικός τρόπος να προκύψει 10, άρα αρκεί να μετρήσουμε τις φορές που εμφανίζεται το 5 στην ανάλυση του ν! σε πρώτους παράγοντες. Θα πρέπει να ξέρουμε ότι έχουμε αρκετά 2.

Διαβάστε περισσότερα εδώ.