Βίκτωρ Ουγκώ
Δύο προβληματάκια πιθανότητας:
1. O Σωκράτης και ο Γιώργος έχουν δύο ζάρια. Τα ζάρια είναι συνηθισμένοι κύβοι -εξάεδρα, μόνο που δεν έχουν αριθμούς πάνω στις έδρες, αλλά τα χρώματα: κόκκινο και μπλε.
Το παιχνίδι είναι απλό. Αν τα ζάρια φέρουν ίδιο χρώμα(οι πάνω έδρες τους) κερδίζει ο Σωκράτης. Αν φέρουν διαφορετικό χρώμα κερδίζει ο Γιώργος. Πώς πρέπει να βάψουν τις έδρες του άβαφου ζαριού, ώστε το παιχνίδι να είναι δίκαιο, δηλαδή να έχουν την ίδια πιθανότητα νίκης και οι δύο παίκτες;
2. Ποια η πιθανότητα τρεις (3) τυχαία επιλεγμένοι άνθρωποι πάνω στον πλανήτη Γη ,να βρίσκονται πάνω στο ίδιο ημισφαίριο; ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ: H Γη είναι τέλεια σφαίρα. Η επιφάνειά της είναι "ομογενής", δηλαδή μπορεί κάποιος να βρίσκεται οπουδήποτε,ακόμη και στον ωκεανό. Ο μέγιστος κύκλος που οριοθετεί ένα ημισφαίριο θεωρείται πως ανήκει σε αυτό.
"Τα ζάρια είναι συνηθισμένοι κύβοι -εξάεδρα" το εκλαμβάνω σαν "τίμια" ζάρια.
ΑπάντησηΔιαγραφήΒάφουν το άβαφτο 3 μπλε έδρες και 3 κόκκινες.
Δειγματικός χώρος 36(6*6) ενδεχόμενα.
Ευνοϊκά ενδεχόμενα για Σωκράτη: 5M*3M+1K*3K=15MM+3KK=18
Ευνοϊκά ενδεχόμενα για Γιώργο: 5M*3K+1K*3M=15MK+3KM=18MK
Συνεπώς το παιχνίδι είναι δίκαιο, διότι έχουν την ίδια πιθανότητα νίκης Π=18/36=0.5
2) Μια μάλλον "χονδρική" προσέγγιση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΘεωρώ ότι ο ένας από τους τρεις βρίσκεται σε ένα τυχαίο σημείο της σφαιρικής γης και τον μέγιστο κύκλο που περνάει από αυτό το σημείο και ο οποίος χωρίζει την γη σε δύο ίσα ημισφαίρια. Οι άλλοι δύο(2) άνθρωποι θα βρίσκονται είτε και οι 2 στο ένα ημισφαίριο, είτε και οι 2 στο άλλο ημισφαίριο είτε ένας στο ένα και ο άλλος στο άλλο ημισφαίριο, άλλο ενδεχόμενο δεν υπάρχει. "Με δεδομένο ότι Ο μέγιστος κύκλος που οριοθετεί ένα ημισφαίριο θεωρείται πως ανήκει σε αυτό", άρα και ο άνθρωπος που βρίσκεται πάνω στον μέγιστο κύκλο ανήκει και στο ένα και στο άλλο ημισφαίριο, άρα τα ενδεχόμενα τρεις τυχαία επιλεγμένοι άνθρωποι πάνω στον πλανήτη Γη ,να βρίσκονται πάνω στο ίδιο ημισφαίριο είναι 2 στα 3, άρα και η πιθανότητα είναι 2/3.
Σωστά για το 1. "Αντιδιαισθητικό" τολμώ να πω αποτέλεσμα. Μέχρι να βάλει κάποιος κάτω τα ενδεχόμενα και τις πιθανότητες σε χαρτάκι, δύσκολα απαντάει "3 κοκκ. και 3 μπλε". Κι όμως ,όπως έδειξε ο Ε.Αλεξίου, αυτό είναι το σωστό!
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο 2. η απάντηση δεν είναι σωστή.
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜάλλον το σωστό είναι(επιλέγουμε τυχαία)
ΑπάντησηΔιαγραφήΕνδεχόμενα(ισοπίθανα)
ΒΒΒ ,ΝΝΝ, ΒΝΒ ,ΒΝΝ,ΒΒΝ,ΝΝΒ, ΝΒΒ,ΝΒΝ
άρα 2/8=25%
Nαι, με τον "συμβατικό" ορισμό των γήινων ημισφαιρίων είναι όντως 1/4. Ακριβώς όπως ωραία το ανέλυσες ,ή εναλλακτικά με τη σκέψη ότι η πιθανότητα να είναι κάποιος είτε στο Β έιτε στο Ν ημισφαλιριο είναι 1 (βεβαιότητα) και μετά οι άλλοι 2 έχουν από 0,5 πιθ. να είναι στο "σωστό"
ΔιαγραφήΑρα, p(και οι 3 στο ίδιο)=1*0,5*0,5=0,25=1/4 (ή 2/8).
Αλλά το πρόβλημα λέει στο "ίδιο ημισφαίριο" γενικά. Και η ελαφρώς απρόσμενη απάντηση είναι p=1 (Bεβαιότητα).
Τρία σημεία βρίσκονται πάντοτε σε ένα επίπεδο, και συνεπώς από την ίδια μεριά του παράλληλου προς αυτό επιπέδου που περνά από το κέντρο της σφαίρας. Όταν το επίπεδο αυτό ταυτίζεται μ'αυτό που περνάει από το κέντρο της σφαίρας σημαίνει ότι ανήκουν στον ίδιο μέγιστο κύκλο ,άρα και πάλι στο ίδιο ημισφαίριο. :-)
Ενδιαφέρον παρουσιάζει το πρόβλημα να υπολογίσουμε την πιθανότητα ν τυχόντα σημεία να βρίσκονται σε ένα και το αυτό ημισφαίριο. Ήδη για τον κύκλο ο ανάλογος υπολογισμός δεν είναι προφανής. Το αφήνω για προβληματισμό...
@RIZOPOULOS
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολύ καλό!!Το σκέφτηκα εντελώς διαφορετικά
Εσείς θεωρείτε την ύπαρξη άπειρων ημισφαιρίων.Εγώ το πήρα για γηίνο
ΑπάντησηΔιαγραφή2Α) Πιθανότητα ν σημεία σε κύκλο να βρεθούν στο ίδιο ημικύκλιο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠαίρνουμε ένα τυχαίο σημείο από τα ν το οποίο με το κέντρο του κύκλου
χωρίζουν τον κύκλο σε 2 ημικύκλια.
Κάθε ένα από τα υπόλοιπα (ν-1) σημεία έχει πιθανότητα 1/2 να βρίσκεται σε ένα από τα 2 ημικύκλια, άρα η πιθανότητα το σύνολο των (ν-1) σημείων να βρίσκεται στο ίδιο ημικύκλιο με το ένα τυχαίο είναι:
1/2*1/2*...*1/2 (ν-1 φορές)=1/2^(ν-1)
Επειδή η επιλογή του τυχαίου σημείου μπορεί να γίνει με ν διαφορετικούς τρόπους η συνολική πιθανότητα πρέπει να είναι: ν/2^(ν-1)
2Β) Πιθανότητα ν σημεία σε σφαίρα να βρίσκονται στο ίδιο ημισφαίριο
Σε αντιστοιχία με τον κύκλο αλλά αντί ένα τυχαίο σημείο του κύκλου, παίρνουμε 2 τυχαία σημεία τα οποία μαζί με το κέντρο της σφαίρας χωρίζουν την σφαίρα σε 2 ημισφαίρια.
Κάθε ένα από τα υπόλοιπα (ν-2) σημεία έχει πιθανότητα 1/2 να βρίσκεται σε ένα από τα 2 ημισφαίρια, άρα η πιθανότητα το σύνολο των (ν-2) σημείων να βρίσκεται στο ίδιο ημικύκλιο με τα δύο τυχαία είναι:
1/2*1/2*...*1/2 (ν-2 φορές)=1/2^(ν-2).
Αν το παραπάνω είναι σωστό, μάλλον πρέπει να είναι,
μένει να βρούμε με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε τα δύο τυχαία σημεία. Βλέπω δύο πιθανές εκδοχές :
α) (ν-1) τρόπους
β) συνδυασμοί των ν σημείων ανά 2
Κάνοντας όμως την σκέψη, ότι σε 2 σημεία του κύκλου αντιστοιχούν 3 της σφαίρας στα 3 του κύκλου 4 της σφαίρας,...,και στα ν-1 του κύκλου ν της σφαίρας, άρα επιλέγω το (α) και η πιθανότητα ισούται με (ν-1)/2^(ν-2)
Υ.Γ Για το (2Α) αισθάνομαι ασφαλής μαθηματικά
για το (2Β) όχι και τόσο. Ίδωμεν!
Για το θέμα των ν σημείων σε κύκλο και σε σφαίρα (διαφορετικών διαστάσεων) δείτε αυτό το εξαιρετικό άρθρο. Επισημαίνω απλώς ότι κυκλοφορεί σε πολλά σημεία στο διαδίκτυο ΛΑΘΟΣ σχέση:1 - [ 1 - (1/2)^n-2 ]^n που μάλλον οφείλεται σε παλιό βιβλίο του μακαρίτη Γκάρντνερ.
ΑπάντησηΔιαγραφήhttp://www.mathpages.com/home/kmath327/kmath327.htm