▪ Εισαγωγή στο Απολλώνιο πρόβλημα

Ο Απολλώνιος (Πέργα Παμφυλίας 262 π.Χ. - Αλεξάνδρεια Αιγύπτου 190 π. Χ.) υπήρξε μεγάλος Έλληνας μαθηματικός γνωστός στους σύγχρονους του ως ο "Μέγας Γεωμέτρης", του οποίου η πραγματεία "Κωνικά", που αποτελείται από 8 βιβλία είναι ένα από τα σημαντικότερα επιστημονικά έργα του αρχαίου κόσμου. Σε ένα από τα έργα του, τις "Επαφές" εξετάζεται το εξής πρόβλημα:

Δοθέντων τριών σημείων ή τριών κύκλων ή τριών ευθειών, να κατασκευασθεί ένας κύκλος που να εφάπτεται και στα τρία Η δυσκολότερη περίπτωση, που αναφέρεται ως το πρόβλημα του Απολλώνιου, εμφανίζεται όταν τα τρία δοθέντα σχήματα είναι κύκλοι.

Ας δούμε όμως πιο αναλυτικά το πρόβλημα:

Έστω ότι οι συντεταγμένες των κέντρων των τριών δοθέντων κύκλων είναι οι $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ με ακτίνες $r_1,r_2,r_3$ αντίστοιχα. Συμβολίζουμε τις συντεταγμένες του κέντρου του ζητούμενου κύκλου με $(x,y)$ και την ακτίνα του με $r$. Η συνθήκη ,η οποία προϋποθέτει ότι ο ζητούμενος κύκλος εφάπτεται στους τρεις δοθέντες κύκλους, βρίσκεται παρατηρώντας ότι, η απόσταση ανάμεσα στα κέντρα των δύο εφαπτόμενων κύκλων είναι ίση με το άθροισμα ή τη διαφορά των ακτίνων τους ανάλογα αν εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά.

Διαβάστε περισσότερα εδώ.