George R.R. Martin
Δύο "σκιώδη" προβλήματα:
1. Ένας άντρας με ύψος 1,80 μέτρα απομακρύνεται σε ευθύγραμμη και οριζόντια πορεία από έναν στύλο φωτισμού του δρόμου με λάμπα που βρίσκεται σε ύψος 5 μέτρα, με ρυθμό 5 χιλιόμετρα την ώρα. Πόσο γρήγορα κινείται η άκρη της σκιάς του;
2. Μια σκάλα με μήκος 6 μέτρα ακουμπάει υπό γωνία σε έναν κατακόρυφο τοίχο. Δηλαδή με υποτείνουσα τη σκάλα και κάθετες πλευρές τον τοίχο και το έδαφος, σχηματίζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Η σκάλα αρχίζει να γλιστράει προς τα κάτω με την κορυφή της να κινείται(προς τα κάτω, ακουμπώντας πάντα στον τοίχο) με ταχύτητα 0,8 μέτρα το δευτερόλεπτο. Nα βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κλίσης της σκάλας, όταν η κάτω άκρη της σκάλας βρίσκεται 4,5 μέτρα μακριά από τον τοίχο.
Σαν "κλίση", να νοηθεί ο λόγος y/x, όπου y η κατακόρυφη (τοίχος) και x η οριζόντια (έδαφος) στο ορθογώνιο τρίγωνο.
1 Σκιές
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ότι ο άνθρωπος βρίσκεται σε απόσταση Χ από τον στύλο και η σκιά του προηγείται κατά χ (συνολικό της μήκος Χ+χ).
Τα ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές χ (το μήκος της σκιάς που προηγείται του ανθρώπου) και 1.8 (τον άνθρωπο) το ένα, και Χ και 3.2 (5-1.8=3.2) το άλλο, που σχηματίζεται ακριβώς πάνω και πίσω από τον άνθρωπο είναι όμοια,
άρα χ/1.8=Χ/3.2 =>χ=Χ*1.8/3.2 =>χ=0.5625Χ, άρα συνολικό μήκος σκιάς Χ1=Χ+0.5625Χ=1.5625Χ, εξαρτάται δηλαδή από την εκάστοτε απόσταση του ανθρώπου από τον στύλο και έναν συντελεστή, στην περίπτωση μας 1.5625
Επειδή ο χρόνος για να πραγματοποιηθούν τα Χ1 και Χ είναι ίδιος άρα:
U1(ταχύτητα σκιάς)/U(ταχύτητα ανθρώπου) =Χ1/Χ =1.5625, άρα U1=1.5625U=1.5625*5=7.8125 χλμ/ώρα
Σωστή η λύση σου για το 1.!
Διαγραφή1. Η σκιά
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν Φ είναι το σημείο της λάμπας φωτισμού, Ο η βάση του στήλου, Α το σημείο που βρίσκεται(πατά) ο άνδρας, Β η κεφαλή του και Σ το άκρο της σκιάς του, τότε από τα όμοια τρίγωνα ΦΟΣ και ΒΑΣ είναι:
1,8*(ΟΣ)=5*(ΑΣ)
(ΟΣ)=(ΟΑ)+(ΑΣ), οπότε (ΑΣ)=0,5*(ΟΑ)
Αλλά (ΟΑ)=5*t, οπότε ο ρυθμός μεταβολής της σκιάς ΑΣ (συναρτήσει του χρόνου) είναι 0,5*5=2,5 Km/h
2. O λόγος
Έστω Α το κάτω άκρο της σκάλας, Β το πάνω και Ο το κοινό σημείο τοίχου εδάφους.
Από τα δεδομένα έχω:
(ΟΑ)=0,8*t =(4/5)*t.
(OB)=sqrt(36-0.64*t^2)=(4/5)*sqrt(225-4*t^2).
f(t)=(OB)/(OA)=[sqrt(225-4*t^2)]/t.
΄Οταν η κάτω άκρη της σκάλας βρίσκεται 4,5 μέτρα μακριά από τον τοίχο, δηλ (ΟΑ)=4,5 τότε t=6.
Zητείται τό f'(6).
Με παραγώγιση της f και αντικατάσταση t=6 προκύπτει f'(6)= -25/36.
2 Σκάλες
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο 1 ήταν και το εύκολο με μία έννοια, ωσάν "γεωμετρικό" πρόβλημα!
Στο 2 νοιώθω αρκετή επιφύλαξη και γιατί έχει λεπτούς υπολογισμούς και γιατί δεν είμαι σίγουρος ότι σωστά αντιλαμβάνομαι τις έννοια του ρυθμού της μεταβολής της κλίσης της σκάλας, γιαυτό εμπειρικά και κυρίως γλωσσικά την ερμηνεύω σαν το πηλίκον μίας ελάχιστης μεταβολής της κλίσης από το Χ=4.5 στο 4.5+ΔΧ (ή μήπως είναι σωστότερο από το 4.5-ΔΧ στο 4.5, αν και θεωρώ ότι παίζει μικρό ρόλο ή και καθόλου καθώς ο χρόνος παίζει αντίστροφο ρόλο) δια του χρόνου που συμβαίνει η μεταβολή αυτή, δηλαδή σαν την μεταβολή της κλίσης στη μονάδα του χρόνου (1 sec).
Παίρνω σαν ΔΧ το 0.00001 Μ (όσο μικρότερο το ΔΧ τόσο μεγαλύτερη η προσέγγιση της μεταβολής της κλίσης σε δεκαδικά ψηφία.
Μεταβολή της κλίσης στο Χ=4.5 Μ
{(6^2-4.50001^2)^0.5/4.50001-
(6^2-4.5^2)^0.5/4.5}=-0.00000447958
Εύρεση ΔΥ για ΔΧ=0.00001 Μ
ΔΥ=(6^2-4.5^2)^0.5-(6^2-4.50001^2)^0.5=0,0000113390 Μ
Εύρεση χρόνου για ΔΥ=0,0000113390 Μ
Τα 0.8 Μ διανύονται σε ένα δευτερόλεπτο
τα 0,0000113390 σε πόσο χρόνο?
χ=1*0,0000113390/0,8 =0.00001417375 sec, άρα αν όλα καλά (?) ως εδώ ρυθμός μεταβολής της κλίσης= =0.00000447958/0.00001417375=0.3160476232 ανά δευτ.
1. Σκιά
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ΟΦ ο στύλος φωτισμού ΑΒ ο άνδρας και ΑΣ η σκιά του.
Τότε: (ΟΑ)=x(t)=5*t
(ΑΣ)-(ΑΣ)=(ΟΣ)=s(t)
Aπό τα όμοια τρίγωνα ΦΟΣ και ΒΑΣ προκύπτει:
(ΟΣ)/(ΟΦ)=(ΑΣ)/(ΑΒ) ή
s(t)/5=[s(t)-x(t)]/1,8 ή
5*x(t)=3,2*s(t)
Παραγωγίζοντάς την λαμβάνω
5*5=3,2*s'(t)
ή s'(t)=125/16 Km/h.
2. Σκάλα
Έστω ΑΒ η σκάλα (Α το κάτω άκρο αυτής) και (ΟΑ)=0,8*t=(4/5)*t η απόστασή της από τον κατακόρυφο τοίχο.
Από Πυθ.Θεώρημα (ΟΒ)^2=36-(16/25)*t^2 ή
(ΟΒ)=(2/5)*sqrt(225-4*t^2) οπότε:
(OB)/(OA)=λ(t)=sqrt(225-4*t^2)/(2*t)
Η χρονική στιγμή t κατά την οποία (ΟΑ)=4,5μ
4,5=0,8*t ή t=45/8 sec
Zητείται λοιπόν το λ'(45/8)
Παραγωγίζοντας την λ(t) έχω:
λ'(t)=-4/[sqrt(225-4*t^2)]-sqrt(225-4*t^2)/4*t^2.
και λ'(45/8)=-4/sqrt(225-2025/16)-16*sqrt(225-2025/16)/2025=...
Χαίρετε!Με προλάβαν οι φίλοι Αλεξίου,Λέντζος.Το 2ο ερώτημα το έλυσα όπως ο Νίκος με παραγώγιση.
ΑπάντησηΔιαγραφήEυχαριστώ για τα ενδιαφέροντα σχόλια!
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το πρόβλημα 2. :
Πρέπει αρχικά να βρούμε την ταχύτητα του κάτω άκρου της σκάλας ,όταν η απόσταση είναι
x=4,5 m.
Iσχύει από το ορθογώνιο τρίγωνο:
x^2 +y^2=6^2 (1)
Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο:
2x dx/dt + 2y dy/dt=0 ή
x *dx/dt + y *dy/dt=0
dy/dt =-0,8 m/sec (το “–“ (μείον)έχει την έννοια της μείωσης του y /πλησίασμα στην αρχή αξόνων x-y)
Άρα: x dx/dt+y*(-0,8)=x dx/dt -0,8y = 0 (2)
Όταν το x=4,5 έχουμε:
4,5^2 + y^2=6^2
Άρα y=3,96863 και η (2) γίνεται:
4,5dx/dt -0,8*3,96863=0
Άρα η ταχύτητα είναι: dx/dt=3,96863*0,8/4,5=0,705534 m/sec.
H κλίση, έστω Κ =y/x
Zητείται το dk/dt = d(y/x)ως προς t
Iσχύει (παράγωγος πηλίκου):
dK/dt= (xdy/dt – ydx/dt) /x^2 (3)
Όπου ,από πριν έχουμε: x=4,5 m, y=3,96863 m, dx/dt= 0,705534m/sec,
dy/dt= - 0,8m/sec.
Άρα η (3): dk/dt= (4,5*(-0,8) – 3,96863*0,705534)/4,5^2=
=-6,4/20,25= -128/405 = περίπου 31,6% βαίνοντας μειούμενη.
Καλησπέρα! Ντονάλτιε, με αφορμή το σχόλιό σου: "Με προλάβαν οι φίλοι Αλεξίου,Λέντζος.Το 2ο ερώτημα το έλυσα όπως ο Νίκος με παραγώγιση." θα σχολιάσω λίγο εκτενώς τη λύση στο πρ.2 του Ε.Αλεξίου (ελπίζοντας να μην παρεξηγηθώ και μπαίνοντας ,ομολογουμένως κάπως "αυθαίρετα",στο μυαλό του.)
ΑπάντησηΔιαγραφήKαι ο Ε.Αλεξίου με παραγώγιση το έλυσε! Και μάλιστα παραγώγιση στην πιο "καθαρή" ουσιώδη μορφή και ερμηνεία-της ,αυτή της μεταβολής στοιχειωδών ποσοτήτων και τη γεωμετρική τους -τρόπον τινά- ερμηνεία. Ο τρόπος σκέψης του είναι θεωρώ πολύ-πολύ διδακτικός και -χωρίς ίχνος κολακείας, δεν το συνηθίζω ούτε το έχω ανάγκη- είναι ό,τι πιο "στοιχειώδες". (το: "στοιχειώδες", όχι με την έννοια του απλοϊκού-κάθε άλλο!- ,αλλά με αυτή του "επί της ουσίας των στοιχείων, των συστατικών")
Παροτρύνω όλους που διαβάζουν, σε περίπτωση που δεν το έχουν ήδη κάνει, να διαβάσουν προσεκτικά αυτό το σχόλιο, δείχνει κατά την ταπεινή μου γνώμη, μία από τις πρακτικές ανάγκες που γέννησε τον διαφορικό λογισμό, μιας και παλιότερα οι ακριβείς υπολογισμοί για πολλά δεκαδικά ήταν δύσκολοι και αδύνατοι.
Δεν ξέρω κατά πόσο συμφωνεί κάποιος με τα παραπάνω,δεκτή οποιαδήποτε παρατήρηση-κριτική, αλλά έχω την αίσθηση ότι ένα παρόμοιο παράδειγμα-σκεπτικό σε μια τάξη φερειπείν, θα προσέφερε εμβάθυνση και κατανόηση στις λεπτές έννοιες του διαφ. λογισμού όσο πέντ-έξι κιλά "θεωρία"... :-)
@RIZOPOULOS
ΑπάντησηΔιαγραφήΜόλις διάβασα τη λύση του κ. Αλεξίου και συμφωνώ μαζί σας(δεν είχα προλάβει να τη δω λεπτομερώς και κακώς δεν αναφερθηκα)
Και από μένα τα εύσημα!!!
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήTα δύο αυτά προβλήματα είναι κλασσικά και γνωστά στους μαθητές της Γ λυκείου και υπάρχουν με παραλλαγές σε όλα τα βιβλία βοηθητικά ή μη, όταν πραγματεύονται τον ρυθμό μεταβολής.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟσον αφορά την λύση του κ. Αλεξίου πράγματι εμπεριέχει την έννοια της παραγώγου, που είναι το όριο του λόγου Δψ/Δχ όταν ταν Δχ τείνει στο μηδέν, και ο κ. Αλεξίου έλαβε ως Δχ=0.00001 που πρακτικά είναι "αρκετά κοντά" στο μηδέν.
Νίκο, χαίρομαι γι'αυτό που λες για τα βιβλία του Λυκείου.Στην σχολική εποχή μου (δεκαετία 80)υπήρχε "επιφανειακή" αντιμετώπιση στον απειροστικό λογισμό. Μη παρεξηγηθώ ,δεν ήθελα να κάνω τον ξύπνιο στους επαγγελματίες λειτουργούς της εκπαίδευσης, ούτε να υποβαθμίσω τη σημασία του μαθηματικού φορμαλισμού που χωρίς αυτόν δεν βγαίνουμε πουθενά ,ειδικά στα λεγόμενα "ανώτερα" Μαθηματικά. (άλλη μεγάλη κουβέντα αυτή, για μένα δεν υπάρχουν ανώτερα και κατώτερα, αλλά ας την κάνουμε άλλη φορά.:-) )
Διαγραφή@ RIZOPOULOS GEORGIOS
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτην τελευταία παράγραφο του σχολίου σου αναφέρεις "... ένα παρόμοιο παράδειγμα-σκεπτικό σε μια τάξη φερειπείν, θα προσέφερε εμβάθυνση και κατανόηση στις λεπτές έννοιες του διαφ. λογισμού όσο πέντ-έξι κιλά "θεωρία" ...".
Η έννοια του ορίου στο λύκειο δίδεται εποπτικά μέσα από το παράδειγμα της ευρέσεως του ορίου της συνάρτησης φ(χ)=(χ^2-1)/(χ-1) όταν το χ τείνει στο ένα, και δίνοντας τιμές στο χ όλο και πιο κοντά στο ένα (χ=2, χ=1.1, χ=1.001, χ=0.0001, ... και από αριστερά χ=0, χ=0.9, χ=0.009, ... κ.ο.κ) προσπαθούμε να δούμε που πλησιάζουν οι τιμές της συνάρτησης, όταν το χ πλησιάζει αρκετά κοντά στο μηδέν.
Ο ορισμός με ε>ο κτλ είναι εκτός διδακτέας ύλης.
@Aλεξίου
ΑπάντησηΔιαγραφήΕννοούσα με τον τρόπο του.Και όπως σας είπα δεν είχα προλάβει να κοιτάξω λεπτομερώς τη λύση σας.Εν συνεχεία σας απέδωσα τα εύσημα
@ donaltios duckios
ΑπάντησηΔιαγραφήΌταν έγραψα, ότι έγραψα, δεν είχε αναρτηθεί το συγκεκριμένο σχόλιο σου, όταν το διάβασα είχα στείλει ήδη το δικό μου. Με συγχωρείς για την "κακιούλα" μου και εσύ και ο κ. Λέντζος. Το διαγράφω και κρατάω μόνο τα συγχαρητήρια και τις ευχαριστίες μου στον κ. Ριζόπουλο για την σωστή ανάγνωση που έκανε της σχεδόν εκ του μηδενός σε αυτά τα θέματα προσπάθειας μου.
@Aλέξιου
ΑπάντησηΔιαγραφήΚανένα πρόβλημα.Απλά έχω πήξει με την εξεταστική και τρέχω και στην ΕΡΤ λόγω των τελευταίων γεγονότων, και όπως καταλαβαίνετε ο χρόνος μου είναι ελάχιστος.Είναι δύσκολο να διαβάζω προσεκτικά τις λύσεις όλων.Δεν υπεννόησα έτσι και αλλιώς από το 1ο σχόλιο ότι εσεις κάνατε λάθος.Το μάτι μου απλά έπεσε στις παραγώγους του κ. Λέντζου και διαπίστωσα ότι το πήγαμε με το ίδιο σκεπτικό-παράγωγοι στην συνηθισμένη τους μορφή(δεν έβγαλα καν αποτέλεσμα καθότι το λύσατε και οι 2 σας οπότε δεν είχε νόημα).Ομολογουμένως ο τρόπος σας είναι και πιο στέρεος γιατί δύσκολα κάνει κάποιος λάθος έτσι(αφού το σκεφτήκατε στην πρωτογενή του μορφή,σημαίνει ότι κατέχετε καλά την έννοια της παραγώγου στη βάση της)