▪Εισαγωγικές εξετάσεις B' Λυκείου - Τύπος B' 1979 (ακυρωθέντα)

Τα θέματα είχαν ακυρωθεί γιατί είχαν διαρρεύσει, για περισσότερα δείτε εδώ.

1. α) Από την ενός τόξου να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημίτονο, συνημίτονο του τόξου .

β) Αν

  και  

και

   

να υπολογίσετε το .

2. α) Σε δοθέντα κύκλο να εγγράψετε κανονικό εξάγωνο και να υπολογίσετε την πλευρά και το απόστημά του από την ακτίνα του κύκλου.

β) Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο . Από την κορυφή αυτού φέρουμε την κάθετη στο επίπεδο του τριγώνου 

και ενώνουμε το τυχόν σημείο της με το μέσο της βάσεως . Να αποδειχθεί ότι είναι : 

i)

ii) .

3. α) Δείξτε ότι κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφεί σαν τετράγωνο μιγαδικού αριθμού.

β) Αν , να δείξετε ότι

  .

γ) Αν τότε σύμφωνα με την ερώτηση (α) υπάρχει ένα τέτοιο ώστε . 

Αποδείξτε την ισότητα

  .

4. α) Δείξτε ότι το σύνολο των ριζών της εξίσωσης είναι ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό στο σύνολο .

β) Δείξτε ότι δυο οποιεσδήποτε από τις ρίζες της προηγούμενης εξισώσεως είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του διανυσματικού χώρου πάνω στο .

Οι εξετάσεις επαναλήφθηκαν λόγω διαρροής των θεμάτων εδώ.

1. Να δειχθεί η ισότητα 

.

2. Σε ένα κύκλο  να εγγραφεί κανονικό τρίγωνο (ισόπλευρο) και να υπολογιστεί η πλευρά και το απόστημά του από την ακτίνα του κύκλου.

3.α. Αν  και  , δείξτε ότι :

i) Όταν , τότε ο αριθμός  είναι καθαρός φανταστικός.

ii) Όταν ο αριθμός  είναι καθαρός φανταστικός, τότε .

β. Να βρείτε το μέτρο και το όρισμα του μιγαδικού

  .

4.α. Έστω  ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα . Αν  και  είναι διανυσματικοί υπόχωροι του , να δείξετε ότι το σύνολο  δεν είναι το κενό και μάλιστα είναι υπόχωρος του .

β. Αν  είναι τρία γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία ενός γραμμικού διανυσματικού χώρου, 

να δείξετε ότι και τα στοιχεία  είναι επίσης γραμμικώς ανεξάρτητα .

Πηγή: mathematica (parmenides51)