▪ Μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης $ax^2+bx+c=0$

Γνωρίζουμε ότι, για βρούμε τις πραγματικές ρίζες μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού

$ax^2+bx+c=0$,  $a\neq0$     (1)

σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης:

$y=ax^2+bx+c$

οπότε οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τον άξονα $x'x$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης. 

Πως όμως, μπορούμε να βρούμε γραφικά τις μιγαδικές ρίζες της;

Έστω, για παράδειγμα, η εξίσωση 

$x^2 – 2x + 5 = 0$.

Η γραφική παράστασης της συνάρτησης $y = x^2 – 2x + 5$ είναι στο παρακάτω διάγραμμα αυτή με το κόκκινο χρώμα (παραβολή). Παρατηρούμε ότι δεν τέμνει τον άξονα $x'x$. 

Για να βρούμε τις μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

(1) Φέρουμε τον άξονα συμμετρίας της παραβολής.

(2) Ο άξονας συμμετρίας τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $A(1,0)$.

(3) Ο άξονας συμμετρίας διέρχεται από την κορυφή B(1,4). 

(4) Επί της ευθείας $x=1$ παίρνουμε σημείο $C$, τέτοιο ώστε $AB = BC$.

(5) Φέρουμε την οριζόντια ευθεία $y=8$ που διέρχεται από το σημείο $C$

(6) Με κέντρο το σημείο $A$ και ακτίνα $CD$ γράφουμε κύκλο.

(7) Ο κύκλος τέμνει τον άξονα συμμετρίας της παραβολής στα σημεία $X, Y$, στην περίπτωση μας $(1,2)$ και $(1,-2)$.

(8) Οι μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης (1) είναι: $1+2i$ και $1-2i$.