▪ Marcus du Sautoy - Ο μαθηματικός η συμμετρία και το Τέρας

Περίληψη

Ο συγγραφέας του best seller Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ, κάνει ξανά την εμφάνισή του με ένα πρωτοποριακό βιβλίο, μια λαμπρή περιήγηση σε ένα από τα πλέον εντυπωσιακά πεδία των σύγχρονων μαθηματικών: τη Θεωρία Ομάδων.

O καθηγητής du Sautoy δείχνει ανάγλυφα την έξαψη και τη γοητεία που κρύβονται στην αφηρημένη ομορφιά της «σύγχρονης» συμμετρίας, στη χαρτογράφηση του μαθηματικού κόσμου, και στον αγώνα για την εξιχνίαση προτύπων χάρη στα οποία εμφανίζονται οι πρώτοι αριθμοί.

Το βιβλίο είναι ένας δυναμικός συνδυασμός πλούσιας ιστορικής διήγησης, μαθηματικής καινοτομίας, και αυτοβιογραφικών στοιχείων.

Το πρόβλημα των πρώτων αριθμών παραμένει ανεπίλυτο· ο αγώνας των μαθηματικών για την αποκωδικοποίηση της εμφάνισής τους, αυτή τη φορά περνά μέσα από τις ομάδες συμμετρίας. Ο Marcus du Sautoy είναι ένας μοναδικός storyteller. Με αξιοθαύμαστη συγγραφική ικανότητα καταφέρνει μια εκπληκτική ισορροπία ανάμεσα στα «σκληρά» μαθηματικά και τη διήγηση μιας περιπέτειας που, συχνά, κόβει την ανάσα.

Ποιος ερωτοχτυπημένος μαθηματικός ανακάλυψε, λίγο πριν από τη μοιραία μονομαχία με τον αντίζηλό του, τη Θεωρία Ομάδων;

Ποιος ρακένδυτος ιδιοφυής μαθηματικός της Θεωρίας Αριθμών τιμήθηκε με το Μετάλλιο Φιλντς για την πιο εντυπωσιακή ανακάλυψη –το αποκορύφωμα της μαεστρίας– των σημερινών Μαθηματικών;

Πώς συνδέονται η Υπόθεση Ρίμαν και η συνάρτηση ζ με μια γιγάντια συμμετρική «χιονονιφάδα» την οποία βλέπουμε μόνο όταν φτάσουμε στο χώρο των 196.883 διαστάσεων;

Τι σχέση έχουν όλα αυτά με την καθημερινότητά μας;

Η θεωρία χορδών, «το πείραμα του αιώνα» στο CERN, η δομή του Σύμπαντος, οι επενδύσεις για τα τεχνολογικά επιτεύγματα του αύριο, η λειτουργία του ανθρώπινου εγκεφάλου, ακόμη και τα εμβόλια κατά των ιώσεων,… όλα «κρύβουν» μέσα τους τα μαθηματικά της συμμετρίας και τους πρώτους αριθμούς.

Από πολλές απόψεις πρόκειται για ένα υπέροχο ανάγνωσμα: ο συγγραφέας εξηγεί με απόλυτα κατανοητό τρόπο τις εντυπωσιακές έννοιες της θεωρίας ομάδων· διηγείται την καθημερινή μαθηματική του πραγματικότητα, και τις απίθανες επιστημονικές συναντήσεις του με τους υπόλοιπους ιδιοφυείς, εκκεντρικούς του «σιναφιού» του (πολλοί από τους οποίους πάσχουν από το σύνδρομο Άσπεργκερ)· συσχετίζει τα μαθηματικά της συμμετρίας με την εφαρμογή τους στην τεχνολογία της εποχής μας (από την ολοένα μεγαλύτερη αποθήκευση δεδομένων σε ένα CD μέχρι την έρευνα για αποφυγή παρεμβολών στις συνομιλίες μας μέσω κινητών). Τέλος, από ένα τέτοιο έργο δεν θα μπορούσε να λείπει μια συνοπτική ιστορία της συμμετρίας, δοσμένη μέσα από τις απίστευτες περιπέτειες του Ταρτάλια, του Γκαλουά, του Κοσί, του Άμπελ, του Λι, και τόσων άλλων πρωτοπόρων που θεμελίωσαν τα μαθηματικά των Ομάδων Συμμετρίας.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Απόψε γίνομαι 40 χρονών. Η θερμοκρασία είναι 40 βαθμοί Κελσίου. Έχω απλώσει πάνω μου αντιηλιακή κρέμα με δείκτη προστασίας 40, και είμαι ξαπλωμένος στην άμμο, στη σκιά μιας αυτοσχέδιας καλύβας από καλάμια, στη μία όχθη της Ερυθράς Θάλασσας. Τα νερά είναι καταγάλανα και στα ανοιχτά, στο βάθος του ορίζοντα, αχνοφαίνεται η Σαουδική Αραβία. Το υπέροχο γαλάζιο σπάει, κατά τόπους, σε αφρισμένα κύματα εκεί όπου ο κοραλλιογενής ύφαλος ξεπροβάλλει στην επιφάνεια. Πίσω μου υψώνονται οι κορυφές του όρους Σινά.

Δεν με απασχολούν ούτε τα γενέθλιά μου ούτε το γεγονός ότι γίνομαι 40 ετών, όμως ο αριθμός 40 έχει ιδιαίτερη σημασία για έναν μαθηματικό. Μη φανταστείτε κάποιο μυστήριο της αριθμολογίας· απλώς, πλανάται μια γενική πεποίθηση ότι ο μαθηματικός πρέπει να έχει ολοκληρώσει την καλύτερη δουλειά του μέχρι τα 40 του. Τα μαθηματικά είναι παιχνίδι για νεαρούς παίκτες. Ύστερα από 40 χρόνια περιπλάνησης στους κήπους των μαθηματικών, άραγε μήπως είναι δυσοίωνο σημάδι για μένα το ότι βρίσκομαι στο Σινά, σε μια γυμνή έρημο όπου ένας εξόριστος λαός περιπλανιόταν επί 40 χρόνια; Το Μετάλλιο Φιλντς, η ύψιστη διάκριση για κάθε μαθηματικό, απονέμεται μόνο σε μαθηματικούς ηλικίας κάτω των 40 ετών. Η απονομή γίνεται κάθε 4 χρόνια. Του χρόνου, ακριβώς αυτή την εποχή, θα ανακοινωθούν στη Μαδρίτη τα ονόματα των τελευταίων υποψηφίων· είμαι ήδη πολύ μεγάλος σε ηλικία για να ελπίζω σε μια θέση στη λίστα τους.

Όταν ήμουν παιδί ούτε καν μου πέρασε από το μυαλό ότι θα γίνω μαθηματικός. Από μικρή ηλικία, είχα αποφασίσει ότι θα πήγαινα στο πανεπιστήμιο να σπουδάσω γλωσσολογία. Όπως το έβλεπα, μόνο έτσι θα κατάφερνα να εκπληρώσω το βαθύτερο όνειρό μου: να γίνω κατάσκοπος. Η μητέρα μου, πριν παντρευτεί, εργαζόταν στο υπουργείο Εξωτερικών. Τη δεκαετία του 1960, το Διπλωματικό Σώμα δεν θεωρούσε τη μητρότητα συμβατή με την ιδιότητα του διπλωμάτη, οπότε η μητέρα μου έφυγε από την υπηρεσία. Όπως έλεγε η ίδια, όμως, την άφησαν να κρατήσει το μικρό μαύρο πιστόλι που κάθε μέλος του υπουργείου Εξωτερικών υποχρεούνταν να κουβαλά πάντοτε μαζί του. «Ποτέ δεν ξέρεις πότε θα σε ξανακαλέσουν για κάποια μυστική αποστολή πέρα από τις θάλασσες», έλεγε αινιγματικά. Το όπλο, όπως ισχυριζόταν, παρέμεινε κρυμμένο σε κάποια γωνιά του σπιτιού μας.

Έφερα το σπίτι άνω κάτω για να βρω αυτό το πιστόλι, απ’ ό,τι φαίνεται, όμως, η μητέρα μου ήταν καλά εκπαιδευμένη στην τέχνη της απόκρυψης. Ο μόνος τρόπος για να πάρω το δικό μου όπλο ήταν να στρατολογηθώ ο ίδιος από το υπουργείο Εξωτερικών και να γίνω κατάσκοπος. Κι αν φιλοδοξούσα να φανώ χρήσιμος σε κάτι, καλά θα έκανα να μάθω ρωσικά.

Στο σχολείο παρακολούθησα κάθε μάθημα ξένης γλώσσας που υπήρχε στο πρόγραμμα: γαλλικά, γερμανικά, και λατινικά. Το κανάλι BBC άρχισε να δείχνει εκπομπές εκμάθησης της ρωσικής γλώσσας. Ο καθηγητής γαλλικών μου, ο κύριος Μπράουν, προσπάθησε να με βοηθήσει. Όμως, ποτέ δεν κατάφερα να αρθρώσω τη λέξη «χαίρετε» –ζντράστβιτιε– ενώ, ακόμη κι ύστερα από οκτώ βδομάδες παρακολούθησης μαθημάτων, δεν είχα αποκτήσει την προφορά. Άρχισα να απελπίζομαι. Άρχισε επίσης να με ενοχλεί ολοένα και περισσότερο η έλλειψη μιας συγκεκριμένης λογικής πίσω από τη συμπεριφορά ορισμένων ρημάτων, και το αρσενικό ή θηλυκό γένος ορισμένων ονομάτων. Τα λατινικά μού έδωσαν κάποιες ελπίδες, καθώς η αυστηρή γραμματική τους ταίριαζε περισσότερο στην αναδυόμενη δίψα μου για πράγματα που αποτελούν τμήμα κάποιου συνεπούς, λογικού σχεδίου, και όχι απλώς προϊόντα τυχαίων συσχετισμών. Ή μπορεί και να μου άρεσε που ο καθηγητής χρησιμοποιούσε πάντα το όνομά μου ως παράδειγμα για τα ουσιαστικά δεύτερης κλίσης: Μάρκους, Μάρκε, Μάρκουμ…

Μια μέρα, στην τάξη, όταν ήμουν 12 ετών, ο καθηγητής των μαθηματικών στράφηκε ξαφνικά προς το μέρος μου και είπε: «Ντι Σοτόι, να έρθεις να με δεις μετά το τέλος του μαθήματος». Φοβήθηκα μήπως είχα μπλέξει πουθενά. Βγήκαμε έξω· τον ακολούθησα και όταν φτάσαμε πίσω από το κτίριο των μαθηματικών, έβγαλε ένα πούρο από την τσέπη του. Μου εξήγησε ότι σ’ αυτή τη γωνία ερχόταν να καπνίσει στα διαλείμματα, καθώς οι συνάδελφοί του δεν ανέχονταν τον καπνό του στο γραφείο των καθηγητών. Άναψε αργά το πούρο του, λέγοντάς μου: «Πιστεύω ότι δεν θα ’ταν άσχημα αν έψαχνες να βρεις ποιος είναι ο πραγματικός σκοπός των μαθηματικών».

Δεν γνωρίζω για ποιο λόγο ακριβώς, από ολόκληρη την τάξη, διάλεξε εμένα για να μου κάνει αυτή την αποκάλυψη. Δεν ήμουν το παιδί-θαύμα στα μαθηματικά, και πολλοί φίλοι μου τα πήγαιναν εξίσου καλά στο αντικείμενο. Όμως, προφανώς, υπήρξε κάτι που έκανε τον κύριο Μπέιλσον να πιστεύει ότι ειδικά εγώ, θα είχα την όρεξη να ανακαλύψω τι κρύβεται πίσω από το μάθημα της αριθμητικής.

Μου πρότεινε να ρίξω μια ματιά στη στήλη του Μάρτιν Γκάρντνερ στο περιοδικό Scientific American, και με συμβούλεψε να διαβάσω κάποια βιβλία που πίστευε ότι θα τα έβρισκα απολαυστικά – περιλαμβανομένου του τίτλου The Language of Mathematics (Η γλώσσα των μαθηματικών), του Φρανκ Λαντ. Το γεγονός ότι ένας καθηγητής επέδειξε προσωπικό ενδιαφέρον για εμένα, ήταν το έναυσμα για να διερευνήσω τι ήταν αυτό που έβρισκε εκείνος τόσο ενδιαφέρον στο αντικείμενό του.

Το επόμενο σαββατοκύριακο πήγαμε με τον πατέρα μου μια εκδρομούλα στην Οξφόρδη, την πιο κοντινή στο σπίτι μας πόλη με πανεπιστήμιο. Πάνω από τη βιτρίνα ενός μικρού μαγαζιού στην οδό Μπρόουντ η ταμπέλα έγραφε «Μπλάκγουελ’ς». Δεν μου φάνηκε και τόσο εντυπωσιακό, ωστόσο κάποιος είχε πει στον πατέρα μου ότι εκείνος ο χώρος ήταν η Μέκκα των πανεπιστημιακών βιβλιοπωλείων. Μόλις βρεθήκαμε μέσα στο κατάστημα, κατάλαβα αμέσως ότι η φήμη ήταν αληθινή. Σαν τον περίφημο τηλεφωνικό θάλαμο του δρ. Χου, μόλις διέσχιζες εκείνη τη μικρή είσοδο το μαγαζάκι ξαφνικά αποκτούσε τερατώδεις διαστάσεις. Τα βιβλία μαθηματικών, όπως μας πληροφόρησαν, βρίσκονταν κάτω, στην Αίθουσα Νόρινγκτον, όπως λεγόταν ο χώρος του υπογείου.

Κατεβαίνοντας τα σκαλιά, ένιωσα λες και βρεθήκαμε στη σπηλιά του Αλαντίν: μια τεράστια αίθουσα γεμάτη επιστημονικούς θησαυρούς. Όλα τα επιστημονικά βιβλία που είχαν εκδοθεί ποτέ, βρίσκονταν εκεί μέσα. Ολόκληρα ράφια ήταν φορτωμένα με βιβλία μαθηματικών. Ενώ ο πατέρας μου βάλθηκε να ψάχνει τα βιβλία που μου σύστησε ο καθηγητής μου, εγώ άρχισα να τραβάω στην τύχη βιβλία από τα ράφια και να τα ξεφυλλίζω. Παρατήρησα ότι τα περισσότερα είχαν κίτρινο εξώφυλλο, όμως την προσοχή μου αιχμαλώτισε, αυτοστιγμεί, το περιεχόμενό τους: ατέλειωτες σειρές με ελληνικά γράμματα· τα αναγνώρισα αμέσως μιας και είχα ήδη κάνει το σύντομο ταξίδι μου στον κόσμο των αρχαίων ελληνικών. Υπήρχαν ολόκληρες ακολουθίες από μικροσκοπικούς αριθμούς και γράμματα, διανθισμένες με ένα σωρό x και y. Σε κάθε σελίδα, έβρισκα λέξεις με έντονη γραφή, όπως Λήμμα και Απόδειξη.

Τα έβλεπα όλα αυτά, όμως δεν καταλάβαινα το παραμικρό. Φοιτητές γερμένοι πάνω στα ράφια, καταβρόχθιζαν το περιεχόμενο των βιβλίων σαν να διάβαζαν το πιο ενδιαφέρον μυθιστόρημα. Ήταν ολοφάνερο ότι μαγεύονταν από αυτή την παράξενη γλώσσα. Δεν ήταν παρά ένας κώδικας που σίγουρα κάτι αντιπροσώπευε. Εκείνη τη στιγμή, βρήκα τον στόχο της ζωής μου: θα μάθαινα να αποκωδικοποιώ αυτά τα ιερογλυφικά. Καθώς πληρώναμε στο ταμείο, είδα ένα τραπέζι με στοίβες κίτρινα χαρτόδετα βιβλία. «Είναι περιοδικά μαθηματικών», μου εξήγησε ο υπάλληλος του καταστήματος. «Οι εκδότες προσφέρουν δωρεάν αντίτυπα για να τσιμπήσουν συνδρομητές από τον ακαδημαϊκό κόσμο».

Διάλεξα ένα αντίτυπο με τίτλο Inventiones Mathematicae (Μαθηματικές Επινοήσεις) και το έβαλα στην τσάντα με τα βιβλία που είχαμε μόλις αγοράσει. Να μια πρόκληση. Άραγε, θα κατάφερνα ποτέ να αποκωδικοποιήσω τις μαθηματικές επινοήσεις που κρύβονταν σ’ αυτό το κίτρινο βιβλίο; Κάποια άρθρα ήταν στα γερμανικά, ένα στα γαλλικά, και τα υπόλοιπα στα αγγλικά. Σκοπός μου όμως πλέον ήταν να σπάσω τον κώδικα της μαθηματικής γλώσσας. Τι ήταν αυτός ο «χώρος Χίλμπερτ» και ποιο ήταν το «πρόβλημα του ισομορφισμού»; Ποιο μήνυμα έκρυβαν αυτές οι αράδες που έβριθαν από Σ, δ και τόσα άλλα σύμβολα που δεν μπορούσα καν να κατονομάσω;

Μόλις φτάσαμε στο σπίτι, άρχισα να κοιτάω τα βιβλία που είχα αγοράσει. Εκείνο το The Language of Mathematics (Η γλώσσα των μαθηματικών), φαινόταν ιδιαίτερα ενδιαφέρον. Πριν από την εξόρμησή μας στην Οξφόρδη, δεν είχα ξανακούσει ποτέ κανέναν να ισχυρίζεται ότι τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα. Στο σχολείο δεν ήταν παρά αριθμοί, που μπορούσες να τους πολλαπλασιάσεις ή να τους διαιρέσεις, να τους προσθέσεις ή να τους αφαιρέσεις, με διάφορα επίπεδα δυσκολίας. Καθώς ξεφύλλιζα όμως το βιβλίο, ήμουν σε θέση πλέον να δω καθαρά τι εννοούσε ο καθηγητής μου όταν έλεγε «ο πραγματικός σκοπός των μαθηματικών».

Σ’ αυτό το βιβλίο δεν υπήρχαν μακροσκελείς διαιρέσεις με ατελείωτο πλήθος δεκαδικών ψηφίων ή οτιδήποτε παρόμοιο. Αντίθετα, υπήρχαν, για παράδειγμα, σημαντικές ακολουθίες αριθμών, όπως οι αριθμοί Φιμπονάτσι. Σύμφωνα με το βιβλίο, αυτοί οι αριθμοί είναι τα «βήματα ανάπτυξης» σε οποιοδήποτε λουλούδι ή σε ένα σπειροειδές κέλυφος. Οι αριθμοί στην ακολουθία προκύπτουν με μια απλή πρόσθεση των δύο προηγούμενων αριθμών. Η ακολουθία αρχίζει ως 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Το βιβλίο έδειχνε ότι οι αριθμοί αυτοί συνιστούν έναν κώδικα ο οποίος υπαγορεύει στο σπειροειδές κέλυφος το κάθε επόμενο βήμα στην πορεία της ανάπτυξής του. Ένα μικροσκοπικό σαλιγκάρι ξεκινά από ένα τετράγωνο σπιτάκι διαστάσεων 1 Χ 1. Στη συνέχεια, κάθε φορά που υπερβαίνει τα όρια του κελύφους του, προσθέτει έναν ακόμα θάλαμο στο «σπίτι» του, οι διαστάσεις του οποίου ισούνται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων θαλάμων. Το αποτέλεσμα είναι μια σπείρα (Σχήμα 1). Όμορφα και απλά. Το βιβλίο έλεγε ότι αυτοί οι αριθμοί είναι θεμελιώδεις, όσον αφορά τον τρόπο που αναπτύσσονται τα πλάσματα στη φύση.

Σε άλλες σελίδες ανακάλυψα ενδιαφέρουσες εικόνες που δεν είχα ξαναδεί ποτέ: τρισδιάστατα αντικείμενα, φτιαγμένα από πεντάγωνα και τρίγωνα. Ένα από αυτά λεγόταν εικοσάεδρο, και είχε 20 τριγωνικές έδρες (Σχήμα 2). Όπως προέκυπτε, αν παίρναμε ένα από τα αντικείμενα αυτά (που στο βιβλίο ονομάζονταν πολύεδρα), και μετρούσαμε το πλήθος των εδρών και των «κορυφών» (όπως ονομάζονταν στο βιβλίο) και στη συνέχεια αφαιρούσαμε το πλήθος των ακμών, ως αποτέλεσμα παίρναμε πάντα 2. Για παράδειγμα, ο κύβος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές, και 12 ακμές: 6 + 8 – 12 = 2. Σύμφωνα με το βιβλίο, το κόλπο αυτό ίσχυε για κάθε πολύεδρο. Όλα αυτά θύμιζαν μαγικά. Το δοκίμασα στο σχήμα που αποτελούνταν από 20 τρίγωνα.

Το πρόβλημα ήταν ότι δυσκολευόμουν κάπως να οπτικοποιήσω κάποιο αντικείμενο, ώστε να μετρήσω όλα τα στοιχεία που έπρεπε. Ακόμη και η προοπτική να το ζωγραφίσω στο χαρτί, κρατώντας λογαριασμό για όλες τις ακμές, με φόβιζε κάπως. Ευτυχώς, ο πατέρας μου πρότεινε έναν πιο σύντομο δρόμο. «Πόσα είναι τα τρίγωνα;» Λοιπόν, το βιβλίο έλεγε ότι τα τρίγωνα είναι 20. «Άρα, τα 20 τρίγωνα έχουν 60 ακμές, όμως κάθε ακμή ανήκει σε δύο τρίγωνα. Άρα έχουμε 30 ακμές». Αυτό, πια, ήταν καθαρή μαγεία. Χωρίς καν να δει το εικοσάεδρο μπροστά του, μπόρεσε να υπολογίσει το πλήθος των ακμών του. Το ίδιο κόλπο έπιασε και με τις κορυφές. Με τον ίδιο λοιπόν τρόπο, τα 20 τρίγωνα έχουν 60 κορυφές. Αυτή τη φορά, όμως, είδα από την εικόνα ότι κάθε κορυφή ανήκε σε πέντε τρίγωνα. Κατά συνέπεια, το εικοσάεδρο είχε 20 έδρες, 12 κορυφές, και 30 ακμές. Και βέβαια, 20 + 12 – 30 = 2. Γιατί όμως ο τύπος αυτός ίσχυε για οποιοδήποτε πολύεδρο κι αν διαλέγαμε;

Σε ένα άλλο βιβλίο υπήρχε ολόκληρη ενότητα αφιερωμένη στη συμμετρία αντικειμένων φτιαγμένων από τρίγωνα, όπως αυτά τα πολύεδρα. Είχα μια πολύ ακαθόριστη ιδέα του τι σημαίνει «συμμετρία». Ήξερα ότι, τουλάχιστον η εξωτερική μου όψη, διακρίνεται από συμμετρία. Το δεξιό μισό του σώματός μου είχε ακριβώς ό,τι είχε και το αριστερό μισό μου. Ωστόσο, όπως προέκυπτε, το τρίγωνο είχε κάτι παραπάνω από αυτή την απλή κατοπτρική συμμετρία. Όσο κι αν το στριφογύριζα, η όψη του τριγώνου παρέμενε απαράλλαχτη. Είχα αρχίσει να συνειδητοποιώ ότι στην πραγματικότητα δεν ήμουν βέβαιος τι σήμαινε να λέει κανείς ότι κάτι είναι συμμετρικό.

Το βιβλίο έλεγε επίσης ότι το ισόπλευρο τρίγωνο έχει έξι συμμετρίες. Διαβάζοντας παρακάτω, άρχισα να βλέπω σιγά σιγά ότι η συμμετρία του τριγώνου αφορούσε τους τρόπους με τους οποίους μπορούσα να επενεργήσω σε αυτό χωρίς να αλλάζω την όψη του. Χρησιμοποιώντας ένα τριγωνικό κομμάτι από χαρτόνι σχημάτισα ένα τριγωνικό περίγραμμα, και βάλθηκα να μετράω με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούσα να αποθέσω το τρίγωνο έτσι ώστε να ταιριάζει ακριβώς μέσα στα όρια του περιγράμματος. Καθεμιά από τις παραπάνω κινήσεις, όπως έλεγε το βιβλίο, αποτελούσε μια «συμμετρία» του τριγώνου. Η συμμετρία, λοιπόν, είχε ενεργητική –όχι παθητική– έννοια. Το βιβλίο με παρότρυνε να δω τη συμμετρία ως ενέργεια την οποία μπορούσα να εφαρμόσω πάνω σε ένα τρίγωνο επανατοποθετώντας το εντός των ορίων του, παρά ως κάποια ιδιότητα που κρύβεται στο ίδιο το τρίγωνο. Άρχισα λοιπόν να απαριθμώ τις συμμετρίες του τριγώνου, βλέποντάς τες ως διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούσα να επενεργήσω σε αυτό. Μπορούσα να αναποδογυρίσω το τρίγωνο με τρεις διαφορετικούς τρόπους. Κάθε φορά, δύο γωνίες άλλαζαν θέση μεταξύ τους. Μπορούσα επίσης να το στρέφω κατά το ένα τρίτο μιας πλήρους περιστροφής, είτε κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού (δεξιόστροφα) είτε κατά την αντίθετη (αριστερόστροφα). Συνολικά, εντόπισα πέντε συμμετρίες. Ποια ήταν η έκτη;

Κάτι μου διέφευγε· άρχισα να ψάχνω απελπισμένα. Δοκίμασα διάφορους συνδυασμούς ενεργειών ώστε να δω αν μπορούσα να δημιουργήσω μία συμμετρία ακόμα. Διαπίστωσα ότι η διαδοχική εκτέλεση δύο τέτοιων κινήσεων ισοδυναμούσε με την εκτέλεση μίας και μόνο κίνησης. Αν η συμμετρία αποτελούσε κίνηση η οποία επανέφερε το τρίγωνο εντός του περιγράμματός του, τότε μπορεί να έβρισκα μια νέα κίνηση ή κάποια νέα συμμετρία. Τι θα συνέβαινε άραγε αν γυρνούσα ανάποδα το τρίγωνο, και στη συνέχεια το έστριβα; Μπα, ήταν ακριβώς σαν τις υπόλοιπες αναστροφές. Αν το γυρνούσα ανάποδα, εκτελούσα μια περιστροφή, και μετά το ξαναγυρνούσα από την άλλη; Μπα, έτσι έπαιρνα απλώς μια περιστροφική κίνηση προς την άλλη κατεύθυνση, την οποία είχα ήδη μετρήσει. Είχα πέντε κινήσεις· όποιον όμως συνδυασμό κι αν δοκίμαζα με τις κινήσεις αυτές, δεν μπορούσα να πάρω τίποτα καινούριο. Κι έτσι, άνοιξα πάλι το βιβλίο.

Έκπληκτος διάβασα ότι ως συμμετρία είχαν συμπεριλάβει και την περίπτωση όπου αφήνουμε το τριγώνο απείραχτο εκεί που βρίσκεται. Περίεργο! Σύντομα όμως διαπίστωσα ότι αν «συμμετρία σήμαινε να επενεργούμε με έναν συγκεκριμένο τρόπο σε ένα τρίγωνο, διατηρώντας το πάντα εντός των ορίων του περιγράμματός του», τότε η περίπτωση που δεν το αγγίζουμε καθόλου –ή, ισοδύναμα, η περίπτωση που θα το παίρναμε, θα το κάναμε ό,τι θέλαμε, και ύστερα θα το αφήναμε ξανά πίσω στη θέση του ακριβώς όπως το βρήκαμε– συνιστά επίσης μια ενέργεια την οποία οφείλουμε να συμπεριλάβουμε στον κατάλογο.

Υπέροχη η ιδέα της συμμετρίας· πολύ με εντυπωσίασε. Οι συμμετρίες ενός αντικειμένου θύμιζαν κάπως τα κόλπα ενός ταχυδακτυλουργού. Ο μαθηματικός μάς δείχνει ένα τρίγωνο, και μετά μας λέει να γυρίσουμε από την άλλη. Τη στιγμή που δεν κοιτάμε, ο μαθηματικός κάνει κάτι με το τρίγωνο. Όταν όμως γυρνάμε και το κοιτάζουμε ξανά, το τρίγωνο είναι το ίδιο όπως ήταν πριν. Ως συνολική συμμετρία ενός αντικειμένου μπορούμε να θεωρήσουμε το σύνολο των κινήσεων που πραγματοποιεί ένας μαθηματικός για να μας κάνει να πιστέψουμε ότι ο ίδιος δεν το άγγιξε καθόλου.

Δοκίμασα το νέο κόλπο και σε κάποια άλλα σχήματα. Ανακάλυψα ένα ιδιαίτερα ενδιαφέρον σχήμα, που έμοιαζε με εξάγωνο αστερία (Σχήμα 3). Δεν μπορούσα να το γυρίσω από την ανάποδη χωρίς να μεταβάλω την όψη του: έμοιαζε να διαθέτει περιστροφική φορά, κάτι που κατέστρεφε την ανακλαστική, κατοπτρική του συμμετρία. Μπορούσα ωστόσο να το στρέψω. Με τους έξι βραχίονές του, πραγματοποίησα πέντε περιστροφικές κινήσεις· και αν υπολογίσουμε και την περίπτωση όπου το αφήνω απείραχτο: έξι συμμετρίες. Ίδιος αριθμός με το τρίγωνο.

Κάθε αντικείμενο είχε τον ίδιο αριθμό συμμετριών. Όμως, το βιβλίο έκανε λόγο για μια γλώσσα που αν την μάθαινα, θα μπορούσα να καταλάβω το νόημα της φράσης «Αυτά τα δύο αντικείμενα έχουν διαφορετικές συμμετρίες». Η ίδια γλώσσα θα μπορούσε να μου αποκαλύψει τον λόγο για τον οποίο τα αντικείμενα αυτά αντιπροσωπεύουν δύο διαφορετικές κατηγορίες στον κόσμο της συμμετρίας· θα μπορούσε επίσης να μου φανερώσει, όπως υποσχόταν το βιβλίο, πότε δύο αντικείμενα, τα οποία διαφέρουν οπτικά, στην πραγματικότητα έχουν τις ίδιες συμμετρίες. Σε τούτη την περιπέτεια είχα τώρα αποδυθεί: να ανακαλύψω τι είναι πραγματικά η συμμετρία.

Καθώς συνέχιζα την ανάγνωση, τα σχήματα και οι εικόνες παραχώρησαν τη θέση τους στα σύμβολα. Μπροστά μου είχα ολοζώντανη τη γλώσσα των μαθηματικών (τον τίτλο του άλλου βιβλίου για το οποίο έκανα λόγο). Ήμουν σχεδόν σίγουρος ότι υπήρχε κάποιος τρόπος να μεταφραστούν σ’ αυτή τη συγκεκριμένη γλώσσα όλα αυτά που παρατηρούσα σχετικά με τις εικόνες. Σκόνταψα σε κάποια από τα σύμβολα που είχα πρωτοσυναντήσει στα κίτρινα εκείνα περιοδικά που είχα πάρει από το μαγαζάκι. Είχαν αρχίσει όλα να γίνονται κάπως αφηρημένα, μου φαινόταν όμως ότι η γλώσσα αυτή προσπαθούσε να «φωτογραφίσει» τις ανακαλύψεις που είχα κάνει πειραματιζόμενος με τις έξι συμμετρίες του τριγώνου. Αν εκτελούσαμε δύο συμμμετρίες, ή ταχυδακτυλουργικές κινήσεις, τη μία μετά την άλλη, για παράδειγμα μια ανάκλαση, ή κατοπτρισμό, την οποία διαδέχεται μια στροφή, παίρναμε μια τρίτη συμμετρία. Η γλώσσα που περιέγραφε τις αλληλεπιδράσεις αυτές είχε ένα συγκεκριμένο μαθηματικό όνομα: θεωρία ομάδων.

Η γλώσσα αυτή μάς έδινε μια γεύση ως προς το γιατί οι έξι συμμετρίες του εξάγωνου αστερία διαφέρουν από τις έξι συμμετρίες του τριγώνου. Μια οποιαδήποτε συμμετρία αντιστοιχούσε σε κάποια ταχυδακτυλουργική κίνηση, οπότε, εκτελώντας διαδοχικά δύο συμμετρίες σε ένα αντικείμενο, έπαιρνα μια τρίτη συμμετρία. Οι συμμετρίες του αστερία αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με αρκετά διαφορετικό τρόπο απ’ ό,τι οι συμμετρίες του τριγώνου. Αυτές οι αλληλεπιδράσεις στο πλαίσιο της ομάδας συμμετριών ενός αντικειμένου διαφοροποιούσαν την ομάδα συμμετριών του τριγώνου από την ομάδα συμμετριών του εξάγωνου αστερία…

O Συγγραφέας του βιβλίου

Marcus du Sautoy

Είναι καθηγητής μαθηματικών στη φημισμένη έδρα Charles Simonyi –αφιερωμένη στην κατανόηση της επιστήμης– στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. Διακρίνεται για την ικανότητά του να μεταδίδει τις επιστημονικές έννοιες στο ευρύ αναγνωστικό κοινό και για την πολυσχιδή ενασχόλησή του με κάθε πτυχή των μαθηματικών. Δημοσιεύει άρθρα για τα μαθηματικά σε πολλές εφημερίδες και περιοδικά, και συμμετέχει τακτικά σε ραδιοφωνικές και τηλεοπτικές παραγωγές του BBC. Ο Marcus du Sautoy έγινε γνωστός σε ολόκληρο τον κόσμο από το διεθνές best seller του «Η μουσική των πρώτων αριθμών», καθώς και από το υπέροχο βιβλίο του για τη συμμετρία, με τίτλο «Θεωρία Ομάδων» (κυκλοφορούν από τον εκδοτικό οίκο ΤΡΑΥΛΟΣ).

Πηγή: travlosbooks