▪ Πιθανοτική ειλικρίνεια

"Όλη η Γνώση, στο τέλος εκφυλίζεται σε Πιθανότητα"

Ντέιβιντ Χιούμ

Τέσσερις άνθρωποι, οι : Α, Β, Γ και Δ, λένε ο καθένας τους αλήθεια με πιθανότητα 1/3 (ανεξάρτητα ο καθένας από τους υπόλοιπους).

Αν μετά από μια δήλωση του Δ, ο Α επιβεβαιώνει ότι ο Β αρνείται ότι ο Γ δηλώνει ότι ο Δ λέει ψέματα, ποια είναι η πιθανότητα ότι ο Δ είπε την αλήθεια;

Υποθέσεις: 

• O Δ είπε κάτι που μπορεί οπωσδήποτε να χαρακτηριστεί σαν: Αληθές (Α) ή Ψευδές (Ψ)
• Ο Γ μπορεί να αξιολογήσει σωστά την αλήθεια της δήλωσης του Δ, πριν κάνει τη δική του.

ΥΓ. Eύχομαι καλές γιορτές και Καλό Πάσχα σε όλες τις φίλες και τους φίλους του ιστολογίου!

AΠΑΝΤΗΣΗ:

Η ζητούμενη πιθανότητα είναι: 13/41.

   H εκφώνηση μπορεί να αναδιατυπωθεί(είναι ισοδύναμη) ως εξής:

        Ο A είπε: ο Β είπε: ο Γ ΔΕΝ είπε: ο Δ είπε ψέματα

      Αυτό είναι ισοδύναμο με:

         A είπε: B είπε: Γ είπε: Δ είπε αλήθεια.

Θέτοντας τη συντομογραφία: ΔΨ ή ΔΑ σαν «Ο Δ είπε Ψ(έματτα) ή Α(λήθεια» αντίστοιχα ,έχουμε την ισοδύναμη:

         A: B: Γ: ΔΑ (1)

Τέτοια προβλήματα απαιτούν το λεγόμενο «δέντρο των πιθανοτήτων» όπως πιο κάτω.

 (αρχίζουμε με τις περιπτώσεις(ΔΑ και ΔΨ) της δήλωση του Δ, μετά του Γ, B, και τελικά του Α.

Η τελική τιμή πιθανότητας κάθε κλαδιού του δέντρου εμφανίζεται έτσι τέρμσ δεξιά, και η ολική πιθανότητα κάθε ενδεχομένου (Α ή Ψ) είναι το πολλαπλάσιο των σχετικών πιθανοτήτων των κλάδων.

Μας ενδιαφέρουν μόνο οι συνδυασμοί που καταλήγουν- όπως στην (1) σε ΔΑ- ,οι οποίοι και ανταποκρίνονται στο ζητούμενο, έτσι δεν χρειάζεται να αναγραφούν/υπολογιστούν όλoi που καταλήγουν σε A:B:Γ:ΔΨ

   (1/3)ΔΑ   (1/3) Γ:ΔΑ      (1/3) B:Γ:ΔΑ    (1/3) A:B:Γ:ΔΑ  1/81

                                              2/3) A:B:Γ:ΔΨ  (Δεν μας χρειάζεται)

                             (2/3) B:Γ:ΔΨ    (1/3) A:B:Γ:ΔΨ  (Δεν μας χρειάζεται)

                                             (2/3) A:B:Γ:ΔΑ  4/81

              (2/3) Γ:ΔΨ      ( 1/3)B:Γ:ΔΨ    (2/3) A:B:Γ:ΔΑ  4/81

                             (2/3) B:Γ:ΔΑ    (1/3) A:B:Γ:ΔΑ  4/81

    (2/3) ΔΨ  (1/3) Γ:ΔΨ     (1/3) B:Γ:ΔΨ    (2/3) A:B:Γ:ΔΑ  4/81

                             (2/3) B:Γ:ΔΑ    (1/3) A:B:Γ:ΔΑ  4/81

               (2/3) Γ:ΔΑ    (1/3) B:Γ:ΔΑ    (1/3) A:B:Γ:ΔΑ  4/81

                              (2/3)Β:Γ:ΔΨ    (2/3) A:B:Γ:ΔΑ  16/81

Άρα η ολική πιθανότητα να έχουμε ακούσει τον Α να κάνει τη δήλωσή του είναι: 41/81.  To ζητούμενο είναι να βρούμε ποια είναι η πιθανότητα ,έχοντας ως δεδομένο ότι ακούσαμε αυτή τη δήλωση, ο Δ να έχει πει αλήθεια.  Πρέπει να προσθέσουμε τις 4 πρώτες ολικές πιθανότητες των αντίστοιχων κλάδων(μας κάνει:13/81) και να διαιρέσουμε με το σύνολο των ενδεχομένων.

  Έτσι, η ζητούμενη πιθ. είναι 13/41, λίγο μικρότερη απ’αυτή που θα είχαμε αν ο Δ είχε μιλήσει «ανεξάρτητα» (μόνος του). Λογικό.