"Η Σοφί Ζερμαίν (Sophie Germain) απέδειξε σε όλους ότι ακόμα και μια γυναίκα μπορεί να πετύχει κάτι σημαντικό στην πιο απαιτητική και αφηρημένη των Επιστημών, και γι'αυτόν το λόγο θα της άξιζε και με το παραπάνω ένα πτυχίο τιμής ένεκεν."
Καρλ Φρίντριχ Γκάους
Ερώτηση: Είναι ο αριθμός $4^{545} + 545^4$ πρώτος;
Και επειδή το άτιμο (αλλά πολύτιμο) διαδίκτυο, βάζοντας και τους αγαθότερους εξ ημών σε πειρασμό, θεωρεί αυτή την ερώτηση εύκολη και τον τεράστιο αυτό αριθμό, μάλλον μικρό, έτσι, ας πούμε το WolframAlpha, μέσα σε ελάχιστα δευτερόλεπτα δίνει την απάντηση:" Όχι!", ας αλλάξω τη διατύπωση και ας την κάνω:
Nα αποδειχθεί ότι ο αριθμός $4^{545} + 545^{4}$ δεν είναι πρώτος.
Μικρή (ή μεγάλη) βοήθεια: Το πρόβλημα είναι από έναν -όχι πολύ παλιό- ρώσικο διαγωνισμό για μαθητές Λυκείου. Δεν το είχε λύσει στον συγκεκριμένο διαγωνισμό κανείς, παρότι η λύση του δεν απαιτεί παραπάνω από 2-3 σειρές (ουκ εν τω πολλώ το ευ!)
Επίσης, το τσιτάτο του Γκάους για την Ζερμαίν ακούγεται (και είναι) σεξιστικό και υποτιμητικό για τις γυναίκες, αλλά,πέραν από το τι ίσως δείχνει για τον ίδιο τον Γκάους, ας μην ξεχνούμε τα χρονικά του πλαίσια.
Λέχθηκε γύρω στο 1800, εποχή όπου όχι μόνο η γυναικεία παρουσία στα Μαθηματικά και γενικότερα στις Επιστήμες αντιμετωπιζόταν με τουλάχιστον....συγκατάβαση (αντίληψη που δυστυχώς- 200 χρόνια μετά - συνεχίζει να είναι διαδεδομένη, αλλά θέλω να πιστεύω όχι κυρίαρχη), αλλά θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως ανέκδοτο! Η Σοφί Ζερμαίν ήταν μια θαρραλέα και αντισυμβατική γυναίκα που άφησε ανεξίτηλο το στίγμα της στην επιστήμη και στη σκέψη γενικότερα.
YΓ. Η απεικονιζόμενη δεν είναι βέβαια η Σοφί Ζερμαίν (πώς θα μπορούσε άλλωστε να υπάρχει φωτογραφία της στα 1800; :-) ) αλλά η Σεσίλια Πέην-Γκαπόσκιν (Cecilia Payne-Gaposchkin) η πρώτη επιστημόνισσα (γυναίκα ή άντρας!) που έλαβε Διδακτορικό (Ph.D) Αστρονομίας από το Χάρβαρντ.
Εκ παραδρομής μπήκε η φωτογραφία της, αλλά τελικά συνάδει νομίζω με το πνεύμα της ανάρτησης, χώρια ότι είναι ωραία φωτό, και λέω να την αφήσω! :-)
4^545 ισουπολοιπο 1 mod 3
ΑπάντησηΔιαγραφή545^4 ισουπολοιπο 2 mod 3
αρα 4 ^545+545^4 ισουπολοιπο 3 mod 3 ισουπολοιπο 0 mod 3
αρα διαιρειται με 3
γιαννης γ γυμνασιου
@George Margaritis: Τώρα, γράφεις Τζώρτζ αλλά υπογράφεις Γιάννης :-) Όπως και να'χει, Χρόνια Πολλά είτε για τις μέρες είτε για την γιορτή σου σήμερα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΣ'ευχαριστώ για το σχόλιο. Το 545^4 mod(3) είναι 1 ,κι όχι 2. Και (4^545 +545^4)mod(3)=2
Προσπάθησε να συνδυάσεις την μαντάμ Ζερμαίν ,και θα βρεις τη λύση!
Καλή πρόοδο σου εύχομαι!
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήεχετε δικιο.λαθος μου
ΑπάντησηΔιαγραφήTo πρόβλημα βασίζεται στην αλγεβρική "Ταυτότητα της Σοφί Ζερμαίν"(εξού και ο τίτλος και όλα τα υπόλοιπα) που έχει-με την απόδειξή της- ως εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφήα^4 +4β^4=α^4 +4α^2β^2 -4α^2β^2 +4β^4 =
=(α^2 +2β^2)^2 -(2αβ)^2=
=(α^2+2β^2+2αβ)*(α^2+2β^2-2αβ)
Το:4^545 + 545^4 = 545^4 +4*(4^138)^4 που είναι απλά το αριστερό μέλος της ταυτότητας της Ζερμαίν (το α^4 +4β^4). Άρα παραγοντοποιείται σαν (α^2+2β^2+2αβ)*(α^2+2β^2-2αβ), άρα ο αριθμός δεν είναι πρώτος.
Χρήσιμη ταυτότητα και σχετικά "άγνωστη".
ΥΓ. Δόθηκε η απάντηση στο πρόβλημα "Πιθανοτική ειλικρίνεια" ,για όποιον ενδιαφέρεται.