"Όλοι σκέφτονται να αλλάξουν τον κόσμο, αλλά κανείς δεν σκέφτεται να αλλάξει τον εαυτό του."
Λέων Τολστόι
Ο Ηρακλής θέλει να σκοτώσει την Λερναία Ύδρα. Με το σπαθί του μπορεί να κόβει κάθε φορά ακριβώς : 15 ή 17 ή 20 ή 5 κεφάλια , αλλά, όπως γίνεται πάντα με τις Ύδρες, φυτρώνουν σε αντιστοιχία με κάθε κόψιμο : 24, 2, 14 ή 17 νέα κεφάλια. Δηλαδή όταν κόβει 15 φυτρώνουν 24, όταν κόβει 17 φυτρώνουν 2, κ.λ.π.
Η Ύδρα έχει αρχικά 100 κεφάλια και για να πεθάνει πρέπει να κοπούν ακριβώς όλα τα κεφάλια της.
Με πόσα και ποια χτυπήματα μπορεί να τη σκοτώσει ο Ηρακλής; Ή μήπως δεν μπορεί;
Θα ήθελα να κάνω κάποιες επισημάνσεις και να μου πείτε κατά πόσο είμαι σε καλό δρόμο
ΑπάντησηΔιαγραφήΕίναι εμφανές από τα δεδομένα ότι πρέπει να απομείνουν 15 ή 17 ή 20 ή 5 κεφάλια στο τέλος.Ώστε με μία τελευταία κίνηση να πεθάνει
Από ότι βλέπω υπάρχει η δυνατότητα κόβωντας π.χ. 10 17άδες κεφαλιών να οδηγηθούμε σε 20 νέα κεφάλια τα οποία αν είναι μόνα τους , η λερναία ύδρα μπορεί να σκοτωθεί.
Το θέμα είναι ότι για να συμβεί αυτό τα κεφάλια της λερναίας ύδρας πρέπει να είναι 170 έτσι ώστε να καταλήξουμε σε 20 και με μία κίνηση να σκοτωθεί
Άρα πρέπει να αυξήσουμε καταρχήν τα κεφάλια από 100 σε 170 με κάποιο τρόπο
Αυτό θα γίνει με τη βοήθεια της αποκοπής 5 ή 15 κεφαλιών που συνολικά οδηγεί σε άυξηση
Ντονάλτιε, κάτι γίνεται μάλλον με τα σχόλιά σου και κόβονται στο πιο ενδιαφέρον σημείο. :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΔοκίμασε να τα στέλνεις κομματιαστά, εκτός αν έχει καμιά άλλη ιδέα ο Σωκράτης...
Nτονάλτιε (και κάθε άλλος ενδιαφερόμενος, εννοείται).
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο πρόβλημα είναι δύσκολο στο να βρει κάποιος την ιδέα πώς να το αντιμετωπίσει,και πανεύκολο στην ...εκτέλεση. :-)
Δεν ξέρω ειλικρινά πώς να δώσω κάποιο χιντ που να μην -ουσιαστικά- το λύνει, αλλά θα προσπαθήσω.
Η μεταβολή των κεφαλιών της Ύδρας που προκύπτει μετά από κάθε κόψιμο, έχουν κάτι κοινό.
Αυτά, προς το παρόν.
πάλι κόπηκε το σχόλιο...Παρατηρώ και κάτι άλλο
ΑπάντησηΔιαγραφή15+17+20+5=24+2+14+17=57
Με άλλα λόγια όλες οι τετράδες των κοψιμάτων διατηρούν αμετάβλητο τον αριθμό των κεφαλιών
57 κόβω και 57 βγαίνουν.Κάπου οδηγεί αυτό ε?
Επίσης το κοινό είναι ότι όλα είναι πολ/σια του 3 αφού
ΑπάντησηΔιαγραφή24-15=9 14-20=6
2-17=-15 17-5=12
άρα μήπως η απάντηση είναι αρνητική από τη στιγμή που ότι γεννιέται και ότι κόβεται είναι πολ/σιο του 3?Από τη στιγμή που ξεκινάμε από τα 100(που δεν είναι πολ/σιο του 3) είναι αδύνατον να μηδενιστούν τα κεφάλια αφού οι νέοι αριθμοί των κεφαλιών που προκύπτουν δεν είναι πολ/σια του 3
ΑπάντησηΔιαγραφήΕχω την αίσθηση ότι δεν θα τα καταφέρει, θα χρειασθεί μάλλον την βοήθεια κάποιου με αναμμένο δαυλό να καυτηριάζει τις τομές ώστε να μη φυτρώνουν νέα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαι τούτο, γιατί με κάθε κόψιμο, μειώνει ή αυξάνει την διαφορά κατά μια ποσότητα που είναι πολ/σια του 3, με αποτέλεσμα να μην καταλήξει σε 15 ή 17 ή 20 ή τέλος 5 ώστε με ένα ακόμη κόψιμο να ολοκληρώσει το έργο.
Δεν θα καταλήξει στο 15 γιατί 100-15=85 δεν είναι πολ/σιο του 3.
Ομοίως δεν θα καταλήξει στο 17 γιατί 100-17=83 δεν είναι πολ/σιο του 3. Το ίδιο στο 20 και στο 5 γιατί οι αριθμοί 80(=100-20) και 95(=100-5) αντίστοιχα δεν είναι πολ/σια του 3.
Mπράβο μεγάλε Ντονάλτιε! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήAυτό ακριβώς είναι. Tα "κοψίματα" του ήρωα αφήνουν αμετάβλητο mod 3 ( invariant mod (3)) τα κεφάλια της Ύδρας. Κι αφού αρχικά τα 100 κεφάλια είναι 100=1mod(3)
,ή Ύδρα δεν μπορεί να σκοτωθεί, παρά μόνον αν ο Ηρακλής ακολουθήσει την προτροπή του Τολστόι κι "αλλάξει" πρώτα τον εαυτό του. :-)
@RIZOPOULOS
ΑπάντησηΔιαγραφήΕυχαριστώ .Το τσιτάτο λειτούργησε επαληθευτικά.Μεταφράζεται ως "μην κάνεις το συνηθισμένο,άλλαξε τον εαυτό σου και σκέψου out of the box!"
Διαφορετικά από αυτό που ακριβώς εννοούσατε αλλά έστω και έτσι βοήθησε.Έκανα την απλή σκέψη
ΑπάντησηΔιαγραφήΝίκο Λέντζο, καταλαβαίνεις ότι λόγω του γνωστού "θέματος" με την καθυστέρηση στην εμφάνιση των σχολίων ,δεν σε συμπεριέλαβα στην προηγούμενη αναφορά μου! Αλλά ,προς αποφυγή κάθε παρεξήγησης ,λάβε και επίσημα τα εύσημα! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΥΓ. Ακολουθεί προσεχώς και ένα θεματάκι για τους πρώτους αριθμούς και ένας ακόμη ελπίζω ενδιαφέρων γρίφος.