Τετάρτη 1 Μαΐου 2013

▪ Κορυφές πενταγώνου

Σε κάθε κορυφή κανονικού πενταγώνου αντιστοιχούμε ένα ακέραιο αριθμό έτσι ώστε το άθροισμα όλων των πέντε αριθμών να είναι θετικό. Αν σε τρεις διαδοχικές κορυφές αντιστοιχούν οι αριθμοί $x,y,z$ και $y<0$, τότε επιτρέπεται η ακόλουθη πράξη: Οι αριθμοί $x,y,z$ αντκαθίστανται από τους αριθμούς $x+y,-y, z+y$ αντίστοιχα. Αυτή η πράξη επαναλαμβάνεται εφόσον υπάρχει έστω και ένας αρνητικός αριθμός ανάμεσα στους πέντε. Να καθοριστεί αν αυτή η διαδικασία θα τερματιστεί μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων.
27η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα 1986
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 1.5.13
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS1 Μαΐου 2013 στις 4:44 μ.μ.

    Προσπάθησα να αντιμετωπίσω το πρόβλημα αυστηρά και φορμαλιστικά (όπως φαντάζομαι ότι λύνεται, μιας και είναι από Ολυμπιάδα) με αλγεβρική επαγωγή, και κάπου σκάλωσα… Αλλά νομίζω ότι μπορεί να αντιμετωπιστεί με λογική επαγωγή και απαγωγή εις άτοπον, ουσιαστικά χωρίς καμία χρήση σχέσης ή τύπου, μόνο με λόγια. Ιδού λοιπόν η «μπακάλικη» λύση μου:
    Eίναι προφανές ότι η διαδικασία , μιας και εφαρμόζεται μόνο για τριάδες xi , yi, zi με yi<0 , παράγει , για οποιονδήποτε ΘΕΤΙΚΟ xi , μετασχηματισμένο αριθμό , έστω xi’ που είναι ίσος με τον αρχικό ή μικρότερος (=xi+yi <xi ,αφού ο y είναι αρνητικός). Άρα , αφού το ολικό άθροισμα είναι θετικό, ουσιαστικά μιλάμε για μια διαδικασία που παράγει μία ΦΘΙΝΟΥΣΑ ακολουθία φυσικών. Έτσι με βάση το παραπάνω, αν θεωρήσουμε το μέγιστο των στοιχείων (που είναι προφανές ότι πρέπει να είναι θετικός ακέραιος, αλλιώς το άθροισμα των 5 δεν μπορεί να είναι θετικό) έστω xmax , ισχύει όπως ως άνω, ότι η διαδικασία είτε τον αφήνει αμετάβλητο ,είτε τον μειώνει. Αλλά μια φθίνουσα ακολουθία φυσικών ,δεν μπορεί να είναι φθίνουσα επ’άπειρον. (Αν δεν κάνω λάθος, γιατί δεν ευκαιρώ να το τσεκάρω σίγουρα, αυτό είναι ουσιαστικά ένα βασικό πόρισμα του «αξιώματος της επιλογής» του Ζermello, και όπως και νάχει είναι προφανώς αληθές)
    Αν τώρα ο μέγιστος xmax μένει αμετάβλητος ,πάλι η διαδικασία αναγκαστικά τερματίζεται πεπερασμένα, γιατί για να μένει αμετάβλητος σημαίνει ότι και οι γειτονικές του κορυφές –ένθεν κι ένθεν- μένουν αμετάβλητες (αφού για οποιαδήποτε τριάδα xi , yi, zi η διαδικασία μεταβάλει και τις τρεις κορυφές αναγκαστικά). Αν όμως μένουν αυτές αμετάβλητες, προφανώς μένουν και οι υπόλοιπες δύο κορυφές του πενταγώνου αφού συνδέονται ανά δύο, άρα η διαδικασία δεν μπορεί να συνεχίζεται επ’άπειρον.
    Εναλλακτικά , το παραπάνω προκύπτει και με το σκεπτικό ότι η διαδικασία δεν μπορεί να επαναλαμβάνεται συνεχώς στην ίδια τριάδα, αλλά άπαξ!
    Άρα, αποδείξαμε ότι η διαδικασία τερματίζεται μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων ,σε κάθε περίπτωση.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)