▪ Το κοσκίνισμα του Πρώτου χρυσού και ένας ημι-γρίφος

"Τα Μαθηματικά εμπεριέχουν όχι μόνο την αλήθεια,αλλά και την υπέρτατη ομορφιά, μια ψυχρή και αυστηρή ομορφιά όπως αυτή της γλυπτικής, καθόλου θελκτική για το πιο αδύναμο μέρος της φύσης μας."

Μπέρτραντ Ράσελ

Ξεκινώ με μια οδυνηρή ομολογία. Είμαι ένας Λωτοφάγος! Είμαι απ’ αυτούς που δοκίμασαν κάποτε (ευτυχώς ή δυστυχώς για μένα, σε μεγάλη-για τα Μαθηματικά- σχετικά ηλικία) τον γλυκό καρπό της Θεωρίας Αριθμών και από τότε, αν και πάντα δοκιμάζω κι από τ’ άλλα φρούτα του κήπου,  τελικά αποζητώ τη γαλήνη και την ταραχή στους μεθυστικούς και εθιστικούς χυμούς τού λωτού.

Και ποιος είναι ο υπέρτατος λωτός; Ποια είναι η «κρεμ ντε λα κρεμ» της Θεωρίας Αριθμών;

Δίνω την απάντησή μου, και κλείνω επιτέλους την άθλια αυτοαναφορά:

Οι Πρώτοι αριθμοί και τα μυστικά τους!

Από τότε που ο Ευκλείδης έδειξε με την θαυμαστή του απαγωγή εις άτοπον την απειρία τους (ίσως και πιο παλιά, αλλά τα στοιχεία μας δεν είναι επαρκή για να αποφανθούμε οριστικά) ο ανθρώπινος νους μαγεύεται από αυτούς τους «δομικούς λίθους» της Αριθμητικής και προσπαθεί να διεισδύσει στις σχέσεις τους και στα μυστικά τους. Κάποια αποκαλύφθηκαν, άλλα, μάλλον τα περισσότερα, μένουν καλά κρυμμένα και περιμένουν τις μελλοντικές γενιές να τα ερευνήσουν. Δεν είναι τυχαίο πώς το «Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής» που λέει ότι ένας αριθμός παραγοντοποιείται κατά μοναδικό και αμφιμονοσήμαντο τρόπο σε γινόμενο πρώτων, ονομάστηκε έτσι.

Τι είναι ένα δύσκολο πρόβλημα στα Μαθηματικά; Ερώτηση που δεν έχει εύκολη απάντηση.

Κατά την γνώμη μου, δεν είναι κάτι που μάς εντυπωσιάζει ως προς τις ικανότητες αυτού που το λύνει, παρά τα αντιθέτως θρυλούμενα και παρά ίσως την κενοδοξία μας, όταν μπαίνουμε στη θέση του «λύτη». Ο A.C. Aiken, φημισμένος καθηγητής στο Εδιμβούργο της Σκωτίας, αποπειράθηκε κατά τη διάρκεια κάποιας συζήτησης με φίλους να υπολογίσει μερικά δεκαδικά ψηφία του πηλίκου 4/47. Άρχισε να αναγγέλλει:  « 0,0851063…» και συνέχισε μέχρι τα 26 πρώτα δεκαδικά ψηφία. Μετά από μια μικρή παύση, υπολόγισε νοερά και τα υπόλοιπα 20 της περιόδου. «Μετά τα 46 ψηφία, η περίοδος επαναλαμβάνεται..»

Οι συνομιλητές του εντυπωσιασμένοι έσπευσαν να επιβεβαιώσουν την ορθότητα του υπολογισμού. Οπωσδήποτε ,πρόκειται για μια εντυπωσιακή επίδειξη των υπολογιστικών ικανοτήτων του Έικεν , αλλά είναι παρασάγγας απέχουσα από το να αποτελεί «μαθηματικό πρόβλημα».

Με λίγο χρόνο και ένα μολύβι, οποιοσδήποτε (ή σχεδόν οποιοσδήποτε..) μπορεί να το λύσει.

Να λοιπόν ένα άλλο πιθανό  «ποσοτικό» κριτήριο αξιολόγησης: «Πόσοι μπορούν να το λύσουν;» Κι εδώ όμως τα πράγματα δεν είναι τόσο σίγουρα. Πολλοί μπορούν να αποδείξουν σήμερα ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, αλλά αυτό δεν μειώνει, ούτε προβλέπεται να μειώσει την σπουδαιότητα της Ευκλείδειας απόδειξης.

Ο σχεδόν συνομήλικός μου Μάικολ Μπάρνσλεϋ (Michael Barnsley) εφάρμοσε κάποιους μετασχηματισμούς σε συγκεκριμένες αυτομορφικές-κλασματογενείς δομές (fractals) και έλυσε ένα πρόβλημα υπερχείλισης. Δεν εντυπωσίασε-μαθηματικώς- και πολλούς, αλλά η λύση του βρήκε εφαρμογή (μεταξύ άλλων) στη συμπίεση μιας ταινίας σε δίσκο DVD και τον έκανε εν μία νυκτί εκατομμυριούχο.

Ούτε λοιπόν η «εφαρμοσιμότητα», πόσο μάλλον το συνεπακόλουθο υλικό όφελος ,αρκούν για να χαρακτηρίσουν ένα πρόβλημα σημαντικό ή δύσκολο ή ενδιαφέρον. Είμαι σίγουρος ότι σχεδόν κανείς δεν είχε υπόψη του το πρόβλημα του Μπάρνσλευ.

Τι λέτε για το εξής πρόβλημα; 

«Έστω M μια μιγαδική προβολική πολλαπλότητα. Τότε, κάθε κλάση Hodge της Μ είναι ένας γραμμικός συνδυασμός με ρητούς συντελεστές των κλάσεων συνομολογίας των μιγαδικών υποπολλαπλοτήτων της Μ»

Αυτό, το διατυπωμένο σε σύγχρονη μαθηματική γλώσσα (τόσο σύγχρονη που κάποιες λέξεις δεν τις αναγνωρίζει ο λεξικογραφικός ορθογράφος και τις κοκκινίζει, αναδεικνύοντας ένα κατ’ εμέ σημαντικό έλλειμμα στη συναρμογή  γλώσσας και επιστήμης στην χώρα μας, αλλά αυτό είναι ζήτημα για μια άλλη φορά..) πρόβλημα, παραμένει ακόμα άλυτο.

Η αλήθεια είναι ότι για μένα και πολλούς άλλους, το πρόβλημα δεν είναι ξεκάθαρο, για να μη πω δηλαδή ότι  φαίνεται αλαμπουρνέζικο, όχι όμως γιατί δεν είναι σημαντικό!  Ίσα-ίσα! Περιέχεται ας πούμε στην λίστα γνωστού ιδρύματος που δίνει αμοιβή ένα εκατομμύριο δολάρια σ’όποιον το λύσει. Ο λόγος βέβαια είναι ότι είναι ακατανόητο στον αμύητο στον συγκεκριμένο κλάδο των Μαθηματικών.

Ε λοιπόν, τα προβλήματα - και δη τα άλυτα - που σχετίζονται με τους Πρώτους αριθμούς, δεν είναι τέτοια!  Ή καλύτερα είναι τέτοια, και πολλά ακόμη μαζί και συνάμα είναι - τα δυσκολότερα απ’αυτά-  τόσο …εξοργιστικά απλά στη διατύπωση ! Ακόμη και κάποιος μαθηματικώς αστοιχείωτος, με λίγη καλή θέληση, καταλαβαίνει τι είναι πρώτος αριθμός και την διατύπωση, ας πούμε:

«Όλοι οι ζυγοί αριθμοί μπορούν να εκφραστούν σαν το άθροισμα δύο πρώτων»

Ποιος –εδώ μέσα τουλάχιστον- δεν αναγνωρίζει αυτό το διάσημο άλυτο πρόβλημα;

Δύσκολο; Αναμφισβήτητα! Ίσως το δυσκολότερο πρόβλημα των μαθηματικών , ίσως να εμπίπτει στην μη αποδειξιμότητα του μη αποδείξιμου του Γκάιντελ (η αδυναμία απόδειξης της μη αποδειξιμότητας, αποδείχτηκε παρεμπιπτόντως από τον Άλαν Τούρινγκ), ίσως κάποτε η «ουρά του κομήτη» που ανοίγει (αναφέρομαι στις ευριστικές μεθόδους που έχουν «αποδείξει» την εικασία για τερατωδώς μεγάλους αριθμούς και στα διαγράμματα των οποίων μοιάζει η κατανομή των πρώτων με ουρά κομήτη που συνεχώς διαπλατύνεται) να αποκαλύψει το μυστικό της, ίσως …, ίσως!

Αλλά, ας πάρουμε τα πράγματα με κάποια σειρά, κι ας ασχοληθούμε με ένα άλλο μεγάλο και διαρκές ερώτημα.

Τι γνωρίζουμε για την κατανομή των πρώτων;

Ένας τρόπος για να βρούμε τους πρώτους αριθμούς πάει πίσω κάμποσα χρονάκια, στον μεγάλο αρχαίο μαθηματικό (και όχι μόνο!) Ερατοσθένη.

Σύμφωνα με τον Νικόμαχο, ο Ερατοσθένης(276 π.Χ -195 π.Χ) επινόησε το αποκαλούμενο «Κόσκινο» που κοσκινίζει τους περίσσιους αριθμούς και αφήνει σαν «καθαρό αλεύρι» ή "καθαρό χρυσάφι" αν θέλετε, τους πρώτους. Είναι ένας σχετικά απλός αλγόριθμος που επιτρέπει την εύρεση όλων των πρώτων μέχρι κάποιον καθορισμένο ακέραιο. Υπάρχουν στις μέρες μας πολλές διαδικτυακές εφαρμογές (applets) του «Κόσκινου», μπορεί κανείς εύκολα να τις αναζητήσει.  Μια γενική περιγραφή του αλγορίθμου , για τους πρώτους  ας πούμε μέχρι τον αριθμό 30, έχει ως εξής:

1. Γράφουμε όλους τους ακεραίους σε σειρά από το 2 έως το 30

2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,
23,24,25,26,27,28,29,30

2. Διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του 2 , και μένουν οι:

2,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29

3. Διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του επόμενου πρώτου, που είναι ο 3 , και μένουν οι:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,25,29

4. Διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του επόμενου(5) , και μένουν οι:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

5. Και συνεχώς επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία μέχρι να φτάσουμε  σε έναν πρώτο αριθμό του οποίου το τετράγωνο να είναι μεγαλύτερο του μέγιστου αριθμού ,στο παράδειγμά μας του 30. Εδώ δηλαδή, ο αντίστοιχος πρώτος είναι το 7.  7^2=49>30

Υπάρχει μετά, το «Θεώρημα των πρώτων αριθμών» το οποίο μας λέει ότι το πλήθος των πρώτων που είναι μικρότεροι από ν ισούται προσεγγιστικά με: ν / ln(ν).

Αρχικά, αυτό το θεώρημα ήταν μια εικασία του Carl Friedrich Gauss και κατόπιν αποδείχτηκε, ανεξάρτητα μεταξύ τους, από τους Ζακ Χάνταμαρντ (Jacques Hadamard) και Σαρλ ντε λα Βαλέ Πουσέν (Charles  de la Vallée-Poussin) το 1896. Αποδείξεις βασισμένες στη μιγαδική ανάλυση και σχετικά πολύπλοκες. Το 1949 το σημαντικότερο μαθηματικό γεγονός της χρονιάς ήταν σίγουρα μια άλλη (και απλούστερη) απόδειξη του Θεωρήματος των Πρώτων που ανακαλύφτηκε και δημοσιεύτηκε από τους Αtle Selberg και Paul Erdős.

To «Θεώρημα των πρώτων αριθμών» μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν βάση για την απόδειξη του επόμενου σχετικού θεωρήματος:

«Για κάθε αριθμό μεγαλύτερο από 1, υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος που βρίσκεται ανάμεσα σ’αυτόν τον αριθμό και στον διπλάσιό του» . Μπορεί επίσης να αποδειχτεί, πάλι με χρήση του «Θεωρήματος των πρώτων», ότι η μέση «απόσταση-χάσμα»  μεταξύ πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από ν, είναι ln(ν)

Όντως ,αν εξετάσουμε ας πούμε τους πρώτους πρώτους: 2,3,5,7,11 και 13 ,διαπιστώνουμε ότι οι μεταξύ τους διαφορές είναι : 1,2,2,4,2,…

Οι μαθηματικοί (αλλά και άλλοι επιστήμονες) προσπαθούν εδώ και αιώνες να αποκαλύψουν την ας την πούμε «εσωτερική δομή» των πρώτων αριθμών.

Πιθανόν να μην υπάρχει δομή! Ο ίδιος ο μεγάλος Όϋλερ, ένας κατά τα άλλα αισιόδοξος και πρωτοπόρος στις μαθηματικές μεθόδους του (έως παρεξηγήσεως) άνθρωπος, ήταν μάλλον πεσιμιστής ως προς αυτό το θέμα και όλοι οφείλουμε σεβασμό (αλλά όχι πειθήνια υπακοή!) στην διαίσθηση του Όϋλερ.

Κάποιοι πρώτοι εμφανίζονται σε ζευγάρια που χωρίζονται από έναν και μοναδικό άρτιο αριθμό. Μερικά ζεύγη ας πούμε είναι τα (3,5) (5,7) (11,13) (17,19),κ.λ.π. Πρόσφατα ο Σωκράτης Ρωμανίδης είχε ανάρτηση με τα 20.000 πρώτα ζευγάρια τέτοιων «Δίδυμων πρώτων» όπως αποκαλούνται.

Σύμφωνα με μια άλλη παλιά εικασία, υπάρχει άπειρο πλήθος τέτοιων «δίδυμων» πρώτων. Μέχρι σήμερα, κανείς δεν μπόρεσε να την επιβεβαιώσει ή να την διαψεύσει.

Θα καταφέρει κάποτε ο ανθρώπινος νους να διεισδύσει στα μύχια μυστικά των πρώτων;

Θα απαντηθεί ποτέ οριστικά ο προβληματισμός που έθεσε ο ελάσσων μαθηματικός Κρίστιαν Γκόλντμπαχ προς τον Όϋλερ; Θα βρούμε κάποιον σχετικά εύχρηστο και διαχειρίσιμο τύπο που θα παράγει όλους τους πρώτους ή έστω που θα τους καταμετράει μέχρι κάποιον συγκεκριμένο μεγάλο αριθμό;

Κανείς δεν ξέρει! Όχι ακόμα τουλάχιστον. Αλλά οφείλουμε να ακολουθούμε μάλλον την αισιόδοξη προτροπή του μεγάλου Χίλμπερτ, όσο κι αν αυτή σκιάστηκε από την εγγενή αδυναμία πληρότητας των αξιωματικών συστημάτων που έχουν συνοχή(σαν την Αριθμητική), όπως αποδείχτηκε από τον επίσης μεγάλο Κουρτ Γκαίντελ.

«Πρέπει να μάθουμε, και θα μάθουμε!»

Και για τους πραγματιστές, αυτούς δηλαδή που ίσως απορούν «και ποιο το όφελος;», τι αποκομίζει η ανθρωπότητα από τη διαλεύκανση της κατανομής των πρώτων ή του αν δύο πρώτοι αθροιζόμενοι δίνουν οποιονδήποτε ζυγό, απαντώ: «Ποτέ δεν ξέρεις!»

Δεν είμαι ειδικός στη Zωολογία και Βιολογία, αλλά σχετικά πρόσφατες έγκυρες μελέτες και δημοσιεύσεις  («Biological model generates prime numbers»- Science mag. 293-13/7/2001) ανακάλυψαν ας πούμε ότι τα τζιτζίκια περνούν 7 ή 13 ή 17 χρόνια κάτω από το έδαφος ,πριν βγουν σαν ενήλικες πάνω απ’αυτό για να περάσουν τις τελευταίες εβδομάδες της ζωή τους. Στο άρθρο επίσης αναφέρεται ότι εργασίες προσομοίωσης  αποδεικνύουν ότι οι περιοδικότητες των πρώτων αριθμών επιτρέπουν στα τζιτζίκια να διαφεύγουν από τους θηρευτές τους! Επίσης, υποστηρικτικά σ’αυτό, κάποιοι εξελικτικοί βιολόγοι θεωρούν ότι οι δυνάμεις της εξέλιξης οδηγούν σε αρκετές περιπτώσεις σε κύκλους ζωής με διάρκεια που αντιστοιχεί σε πρώτους αριθμούς. Προσωπικά, θεωρώ εκπληκτικό το γεγονός (έστω ως πιθανότητα) η Θεωρία Αριθμών να παίζει ουσιαστικό ρόλο στην κατανόηση της Ζωολογίας και στο Θαύμα της ζωής!

Και μετά υπάρχει κι ο …Λομπατσέφσκυ, που έλεγε (όσο κι αν αυτό θα έκανε ίσως να φρίξουν από αγανάκτηση τους πιο φανατικούς και ιδεολόγους αριθμοθεωρητικούς) ότι «Δεν υπάρχει κλάδος των Μαθηματικών, όσο αφηρημένος και θεωρητικός κι αν είναι, που να μην βρίσκει αργά η γρήγορα εφαρμογή στον πραγματικό κόσμο!»

Και για να επανέλθω ,κλείνοντας, σε κάπως πιο «γήινους» και οικείους προβληματισμούς, ας θέσω για τους φίλους του ιστολογίου έναν ημι-γρίφο! :

Μπορείτε να ανακαλύψετε 10.000 (δέκα χιλιάδες) διαδοχικούς μη-πρώτους (σύνθετους) αριθμούς;

Το γιατί αποκαλώ το ερώτημα : " ημιγρίφο", το αφήνω για τα σχόλια αργότερα.

Γιώργος Ριζόπουλος, Λεμεσός, Μάης 2013.