Σε κύκλο ακτίνας 1 είναι περιγεγραμμένα ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο. Να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν του κοινού μέρους του τετραγώνου και του τριγώνου είναι μεγαλύτερο από $3,4$. Μπορούμε να πούμε ότι το εμβαδόν είναι μεγαλύτερο από $3,5$;
Ε.Σ.Σ.Δ - 20η Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 1986
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Ναι σε κάθε περίπτωση το εμβαδόν του κοινού μέρους των περιγεγραμμένων τετραγώνου και του τριγώνου είναι μεγαλύτερο του 3,4 αλλά όχι σε κάθε περίπτωση μεγαλύτερο του 3,5, συγκεκριμένα το μικρότερο δυνατόν εμβαδόν τείνει στο 3,48528137359
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπόδειξη
Το εμβαδόν της τομής γίνεται το μικρότερο δυνατό όταν τα τρία τριγωνάκια που είναι εκτός της τομής έχουν το μεγαλύτερο δυνατόν εμβαδόν.
Αυτό συμβαίνει όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και οι 2 κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου τέμνουν το τετράγωνο υπό γωνία 45ο-135ο και η υποτείνουσα του ορθ. τριγώνου να τέμνει το τετράγωνο υπό γωνία που τείνει στις 45ο, δηλαδή το ορθογώνιο τρίγωνο πέραν της ορθής γωνίας έχει μία από τις άλλες να τείνει στις 90ο και την άλλη φυσικά να τείνει στο 0 (η κορυφή του τείνει στο..άπειρο).
Έτσι έχουμε εκτός τομής 2 ισοσκελή ορθ. τρίγωνα κάθετων πλευρών 0,585786438..(υπολογίζεται με πυθαγόρειο) και ένα ορθ. τρίγωνο που τείνει στο ισοσκελές.
Εμβ.ορθ.τρ.εκτός=0,585786438^2/2=0,17157287547
και άρα Εμβ. τομής=4-(2+τείνον στο 1)*0,17157287=
τείνει στο 3,48528137359>3,4 και<3,5
Το μέγιστο εμβαδόν τομής που μπορεί να παρουσιασθεί τείνει στο 4, αν το ορθ. τρίγωνο που περιέγραψα(90ο,τείνει στις 90ο,τείνει στις 0ο) το τοποθετήσουμε έτσι που η ορθή του γωνία να συμπίπτει με μία από τις 4 ορθές του τετραγώνου.
Έτσι έχουμε εκτός κοινού μέρους τετραγώνου και ορθ. τρ. μόνο ένα τριγωνάκι που το εμβαδόν τείνει στο 0 και άρα η τομή στο 4