Δευτέρα 29 Απριλίου 2013

▪ $x^2+y^2+z^2$

Αν για τους ακεραίους $x,y,z$ ισχύουν
$x^2y+y^2z+z^2x=2186$
$xy^2+yz^2+zx^2=2188$
να υπολογισθεί το άθροισμα
$x^2+y^2+z^2$.
USA Purple Comet 2013
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 29.4.13
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS30 Απριλίου 2013 στις 10:40 π.μ.

    Άντε να συμετάσχω και εγώ στο αλγεβρικό κρεσέντο του Νίκου! :-)
    Aφαιρώντας: (2) - (1) έχουμε:
    xy2+yz2+zx2-x^2y-y^2z-z^2x=2 (3)
    To πρώτο μέλος της (3)είναι το ανάπτυγμα:
    /y-x/*/z-y/*/z-x/=2 (oι άθλιες λοξές κάθετοι να εννοηθούν σαν απόλυτες τιμές..:-))
    Άρα, οι διαφορές των x,y,z είναι 1, 1, και 2 που σημαίνει ότι οι x,y,z e;inai diadoxiko;i ak;eraioi.
    Αν (χωρίς βλάβη της γενικότητας) θεωρήσουμε ότι ο x e;inai o mikr;oterος ο y=x+1 kai z=x+2 ,θα έχουμε την (1) να γίνεται:
    χ^2(χ+1)+(x+1)^2*(x+2)+x(x+2)^2=2186
    ή 3x^3 +9x^2 +9x-2184=0
    Πραγματική ρίζα: x=8
    Άρα y=9 kai z=10
    x^2+y^2+z^2=(8+9+10)^2=729

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. RIZOPOULOS GEORGIOS30 Απριλίου 2013 στις 10:43 π.μ.

    Ουπς! Τρίζουν τα κόκαλα των αλγεβριστών..παρντόν!

    x^2+y^2+z^2=64+81+100=245 βεβαίως-βεβαίως. :-)
    Και οι μεταθέσεις αυτων των λύσεων, βεβαίως-βεβαίως(δις).

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)