Σάββατο 13 Απριλίου 2013

▪ $p,q,r$ πρώτοι

Έστω $ p,q,r $ πρώτοι αριθμοί. Να λυθεί η εξίσωση
$ p^{2q}+q^{2p}=r $.
FYROM National Olympiad 2013
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 13.4.13
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. Κουνελοϊός31 Μαρτίου 2014 στις 10:18 μ.μ.

    Καταρχήν οι p,q,r είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 2. Αν p=2, τότε η παράσταση p^(2q) είναι άρτιος αριθμός, ενώ για οποιαδήποτε άλλη τιμή του είναι περιττός, το ίδιο και η ανωτέρω παράσταση. Τα ίδια ισχύουν και για το q και την παράσταση q^(2p). Αν τώρα p=q=2, ή ταυτόχρονα οι p και q είναι περιττοί, τότε το άθροισμα p^(2q)+q^(2p) είναι άρτιος αριθμός, προφανώς μεγαλύτερος από 2 και άρα σύνθετος. Επομένως σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση είναι αδύνατη. Αν όμως p=2 και ο q περιττός, ή αν q=2 και ο p περιττός, τότε το άθροισμα προκύπτει περιττός, οπότε μπορεί και να είναι κάποιος πρώτος. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε μόνο την περίπτωση που p=2 και q περιττός πρώτος. Τότε θα έχουμε: r=2^(2q)+q^4, ή r=4^q+q^4. Τι μπορούμε τώρα να πούμε για αυτή την εξίσωση; Ας ξεκινήσουμε με τον όρο 4^q. Εφόσον ο q είναι περιττός, το τελευταίο ψηφίο της δύναμης είναι ΠΑΝΤΑ το 4. Πάμε τώρα στο δεύτερο όρο, το q^4. Προκύπτουν οι εξής περιπτώσεις: Αν το τελευταίο ψηφίο του q είναι το 1, ή το 3, ή το 7, ή το 9, το αντίστοιχο τελευταίο ψηφίο του q^4 είναι ΠΑΝΤΑ το 1. Άρα το τελευταίο ψηφίο του r είναι ΠΑΝΤΑ το 5. Επειδή η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει το r είναι 4^3+3^4=64+81=145, το r είναι σύνθετος, διότι είναι μεγαλύτερο από 5 και έχει παράγοντα το 5. Άρα η εξίσωση είναι και πάλι αδύνατη. Αν τώρα το q λήγει σε 5, πρέπει και να ισούται με 5, αλλιώς θα ήταν σύνθετος αριθμός. Στην περίπτωση αυτή, r=4^5+5^4=1024+625=1649=17*97, πάλι σύνθετος. Άρα ούτε τώρα η εξίσωση ικανοποιείται, οπότε καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι είναι ΑΔΥΝΑΤΗ.

    Αυτή ήταν η παρουσίαση της λύσης μου. Δε γνωρίζω αν υπάρχει μία πιο σύντομη διαδικασία. Οι έμπειροι μαθηματικοί του blog ίσως μπορούν να βοηθήσουν εδώ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)