Κυριακή 28 Απριλίου 2013

▪ $\frac{a}{b}$

Έστω $a,b$ πραγματικοί αριθμοί στο διάστημα (0,1), που έχουν επιλεγεί τυχαία. Να υπολογιστεί η πιθανότητα ο κοντινότερος ακέραιος στον αριθμό $\frac{a}{b}$ να είναι περιττός. (Σημείωση: η απάντηση δεν είναι $\frac{1}{2}$).
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 28.4.13
Ετικέτες

1 σχόλιο:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS29 Απριλίου 2013 στις 2:09 π.μ.

    Όπως πάντα στις πιθανότητες , η ακριβολογία είναι πολύ σημαντική. Υποθέτοντας ότι η φράση:«..που έχουν επιλεγεί τυχαία.» σημαίνει ότι έχουν επιλεγεί τυχαία ΜΕ ΒΑΣΗ την ομοιόμορφη κατανομή(γεγονός που δεν είναι ΔΕΔΟΜΕΝΟ, αν δεν μας δηλωθεί –σαν σύμβαση- ρητά) , έχουμε 2 πιθανοτικές καταστάσεις.
    Α) Το πηλίκο a/b να πέφτει μεταξύ ,έστω των k και m για 0 ≤ k < m < 1
    Oπότε η πιθανότητα είναι
    P(k < a/b < m) → P(kb < a < mb), 0 ≤ k < m < 1 (A)
    Και Β) Το πηλίκο a/b να είναι μεγαλύτερο από 1, οπότε:
    P(a/ m < b < a/k) , 1 < k < m (B)
    To σχετικό ολοκλήρωμα για την Α) δίνει:
    ∫(0 έως 1) ∫(k έως m)da db → ∫(0 έως 1) (mb – kb)db = (m-k)/2 (1)
    To σχετικό ολοκλήρωμα για την B) δίνει:
    ∫(0 έως 1) ∫(a/m έως a/k)da db → ∫(0 έως 1) (a/m – a/k)da = (1/2)*(1/k -1/m) (2)
    Eίναι πιο εύκολο να υπολογίσουμε την πιθανότητα για προσέγγιση άρτιου αριθμού για το a/b
    H πιθανότητα (για a/b άρτιο) πρέπει να είναι:
    p(0 < a/b <1/2) + ∑(n=1 έως ∞) p(2n -1/2 < a/b < 2n + 1/2) (3)
    Αντικαθιστώντας στην (3), βάσει των (1) και (2) ,έχουμε:
    (1/2)*(1/2 – 0) + ∑(n=1 έως ∞) [1/(2*(2n -1/2) – 1/(2*(2n + 1/2))] =
    = 1/4 + ∑(n=1 έως ∞) [1/(4n -1) – 1/(4n+1)]=
    =1/4 + (1 - π/4) = (5/4) – π/4 = 0,4646..
    Άρα η πιθανότητα για περιττό είναι 1-0,4646.. =0,5353..
    Όντως διάφορη(μεγαλύτερη) από 0,5 (όπως σοφά υπέδειξε ο Σωκράτης) και το αντι-διαισθητικό αποτέλεσμα προσωπικά με εκπλήσσει. Δεν είμαι σε θέση αυτή τη στιγμή να επιχειρήσω εξήγηση/εμβάθυνση, ίσως έχει να κάνει με την κατανομή των υπερβατικών αριθμών (που ξέρουμε ότι είναι πολύ περισσότεροι από τους αλγεβρικούς, στο απειροσύνολο των πραγματικών) ? Υπάρχει/Έχεις κάτι επ’αυτού (κάποια δικαιολόγηση δηλαδή της πιθανότητας) Σωκράτη;
    Πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα, όπως και να’χει!

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)