▪ Ο Μπόρχες και το μαθηματικό Άπειρο

Ο Αργεντινός Χόρχε Λουίς Μπόρχες (Jorge Luis Borges) ήταν από τους μεγαλύτερους συγγραφείς του 20ου αιώνα. Έχει καταπιαστεί μ’ αυτό που γενικά αποκαλείται «στοιχείο του φανταστικού» αν και το να κατηγοριοποιήσεις τον Μπόρχες είναι ένα παρακινδυνευμένο εγχείρημα, για έναν λογοτέχνη τόσο σημαντικό και πολυσχιδή. Σκοπός του παρόντος κειμένου, δεν είναι σε καμιά περίπτωση να επιχειρηθεί μια γενική φιλολογική αποτίμηση ή κριτική του έργου του, άλλωστε ο Μπόρχες μπορεί να αρέσει σε διαφορετικούς ανθρώπους για διαφορετικούς λόγους, παρά μόνον να τονισθούν κάποια επιλεγμένα σημεία των διηγημάτων του που σχετίζονται με τα Μαθηματικά και κυρίως με την έννοια του Απείρου, και να επιχειρηθεί μια προσέγγισή τους από μαθηματική σκοπιά.

Το μαγικό στον Μπόρχες είναι ότι ,παρόλο που δεν είχε επίσημα μαθηματικές σπουδές, οι σχετικές του ανησυχίες είναι συνεχείς και εμφανείς στα έργα του. Έχουν υπάρξει πολλοί γνωστοί συγγραφείς που ενδιαφέρθηκαν και κατέγραψαν τις μαθηματικές τους ανησυχίες στα έργα τους. Ο Μπόρχες ήταν ένας –ίσως ο κατεξοχήν- απ’ αυτούς που ήταν ικανός να αντιληφθεί, να προσδιορίσει και να παρουσιάσει με τον δικό του μοναδικό και μαγικό τρόπο, μαθηματικές ιδέες με απόλυτη σαφήνεια. 

Έτσι ,όχι μόνο βοήθησε στην κατανόηση των εννοιών αλλά δημιούργησε και νέες προοπτικές στην προσέγγισή τους.

Τα έργα του Μπόρχες, στην πλειοψηφία τους σχετίζονται και εκτυλίσσονται γύρω από φανταστικά παράξενα και παράδοξα αντικείμενα ή καταστάσεις, τα οποία όμως είναι ταυτόχρονα τόσο λογικά που φαντάζουν αληθινά και απολύτως πραγματοποιήσιμα.

Ή έρημος, παρουσιασμένη σαν λαβύρινθος χωρίς πόρτες και διαδρόμους, η «Βιβλιοθήκη της Βαβέλ» (από τη συλλογή “Ficciones” (Μυθοπλασίες)–Ο λαβύρινθος των λαβυρίνθων! Μια βιβλιοθήκη αχανής με σαφή Τοπολογικά και περίπλοκα χωρικά στοιχεία και διάταξη. Η αφήγησή του εξηγεί ακριβώς τα χαρακτηριστικά και τις ιδέες. Η περιγραφή του «στεγνή», καθαρή , σαφής, σε παραπέμπει κατευθείαν στις μαθηματικές έννοιες και ιδέες.

Στο «Βιβλίο της Άμμου» , μιλάει για ένα βιβλίο με άπειρες σελίδες που δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος. Στο κείμενο , που θα μπορούσε να έχει εμπνεύσει -αν δεν ήταν εμπνευσμένο- από τον ίδιο τον Κάντορ (Cantor), φαίνεται πως ο Μπόρχες σκέφτεται το δυνητικό και μετρήσιμο, δηλαδή το αριθμήσιμο άπειρο. Όλες οι σελίδες του βιβλίου έχουν φυσική αρίθμηση. Και είναι πραγματικά τόσες πολλές που είναι αδύνατο για κάποιον να ξανανοίξει το βιβλίο στην ίδια ακριβώς σελίδα! Αυτή η «λεπτομέρεια» καθιστά αμέσως προφανή μια αρχέγονη διάκριση μεταξύ απείρου και πεπερασμένου.

«..Το άνοιξα στην τύχη… Αυτό που μου τράβηξε την προσοχή ήταν πως η ζυγή σελίδα είχε τον αριθμό (ας πούμε) 40.514 και η περιττή, η επόμενη, τον 999. Τη γύρισα, το πίσω μέρος ήταν αριθμημένο με οκτώ ψηφία. Υπήρχε και μια μικρή εικόνα, όπως αυτές που χρησιμοποιούν στα λεξικά, μια άγκυρα θαρρείς ζωγραφισμένη από χέρι μικρού παιδιού.

Τότε, μου απευθύνθηκε ο άγνωστος:

-Κoίτα τη καλά, γιατί δεν θα τη ξαναδείς ποτέ.

Είχαν κάτι από απειλή τα λόγια του αλλά όχι η φωνή του.

Απομνημόνευσα το σημείο και έκλεισα το βιβλίο. Το ξανάνοιξα αμέσως.

Μάταια αναζήτησα την άγκυρα, όσο κι αν ξεφύλλιζα απελπισμένα…»

Και πιο κάτω:

".. –Αυτός που το είχε δεν ήξερε να διαβάζει. Μου είπε ότι το βιβλίο του λεγόταν το Βιβλίο της Άμμου, διότι ούτε το βιβλίο ούτε η άμμος έχουν αρχή και τέλος." (εδώ διακρίνω μια έμμεση αλλά σαφή ,ίσως και σκεπτικιστική, αναφορά στον «Ψαμμίτη» του Αρχιμήδη).

Αν λοιπόν το βιβλίο του Μπόρχες είχε τέλος, όσες κι αν ήταν οι σελίδες του, π.χ =$Ν$, για $Ν$ πολύ μεγάλο, η πιθανότητα να ξανανοιχτεί σε μια συγκεκριμένη /προκαθορισμένη σελίδα θα ήταν μεν απειροελάχιστη ,αλλά υπαρκτή, μετρήσιμη και θετική: $p=1/N > 0$.

Σ’ ένα βιβλίο όμως «χωρίς τέλος», αυτή η πιθανότητα είναι μηδενική: $p=\frac{1}{\infty} = 0$.

Μπορεί εδώ, κάποιος ίσως να παρατηρήσει ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών $1,2,3,4,…$ 

(το απειροσύνολο με τον μικρότερο πληθικό αριθμό, το περίφημο Άλεφ 0 ,σύμφωνα με την ορολογία του Κάντορ) θα μπορούσε να χρησιμέψει για την αρίθμηση των σελίδων του Βιβλίου της Άμμου. Σίγουρα μ’ αυτήν την αρίθμηση δεν θα υπήρχε τελευταία σελίδα για να «κλείσει» το βιβλίο. Θα υπήρχε όμως σίγουρα πρώτη (η υπ'αρ. 1), αλλά το βιβλίο δεν έχει ούτε πρώτη, ούτε τελευταία. Σε κάθε προσπάθεια αναζήτησής τους παρεμβάλλονται άλλες , είτε «προς τα κάτω» προς την αρχή, είτε «προς τα πάνω» προς το τέλος. Αλλά ας δώσουμε και πάλι τον λόγο στο κείμενο:

«..Μου ζήτησε να βρω την πρώτη σελίδα. Ακούμπησα το αριστερό χέρι στο εξώφυλλο και άνοιξα με τον αντίχειρα σχεδόν κολλημένο στο δείκτη. Μάταια! 

Πάντα παρεμβάλλονταν σελίδες μεταξύ του εξωφύλλου και του χεριού μου. Σαν να ξεφύτρωναν μόνες τους.

-Τώρα βρες το τέλος!

Απέτυχα παταγωδώς…

-Δεν γίνεται.

….

-Κι όμως γίνεται. Ο αριθμός των σελίδων αυτού του βιβλίου είναι ακριβώς άπειρος. Καμία δεν είναι πρώτη, καμία δεν είναι τελευταία. Δεν ξέρω γιατί είναι αριθμημένες με τόσο αυθαίρετο τρόπο. Ίσως για ν’ αποδειχθεί ότι οι όροι μιας άπειρης σειράς περιέχουν οποιονδήποτε αριθμό.

….

-Αν ο χώρος είναι άπειρος , τότε βρισκόμαστε σε οποιοδήποτε σημείο του. Αν ο χρόνος είναι άπειρος, υπάρχουμε σε οποιαδήποτε στιγμή του.»

Η απουσία λοιπόν «πρώτης» σελίδας ακυρώνει/κάνει ακατάλληλο το μοντέλο μας των φυσικών αριθμών για την χρήση που το θέλουμε.

Υπάρχει αριθμητικό σύνολο που να εκπληρώνει τη απαιτούμενη προδιαγραφή της μη-ύπαρξης πρώτου στοιχείου; Υπάρχει!

Οι ρητοί θετικοί αριθμοί, δηλαδή τα κλάσματα, οι πεπερασμένοι (ή περιοδικοί ) δεκαδικοί.

Είναι άπειροι και αριθμήσιμοι και δεν διαθέτουν πρώτο, ούτε ασφαλώς τελευταίο αριθμό.

Ποιος είναι ο πρώτος δεκαδικός θετικός αριθμός μετά το 0; Δεν υπάρχει! Αν υπήρχε τέτοιος, έστω ο Κ ,θα μπορούσαμε απλά να τον διαιρέσουμε στη μέση και θα προέκυπτε ο Κ/2 , αριθμός ακόμη πιο μικρός (και πάντα ρητός και θετικός).

Και πιο μικρός ακόμη , στο ίδιο επαγωγικό μοτίβο, ο Κ/4 και μετά ο Κ/8 και μετά ο…

Μ’ αυτή την απλούστατη απαγωγή εις άτοπον, βλέπουμε λοιπόν ότι σε μια οποιαδήποτε δεδομένη σελίδα του Βιβλίου της Άμμου (= ένας ρητός Q) μπορούν να υπάρξουν (να παρεμβληθούν) όσες σελίδες θέλουμε (= ρητοί αριθμοί) μεταξύ του αριθμού αυτού Q της σελίδας και του εξώφυλλου του βιβλίου. Άρα, ακριβώς όπως έδειξε ο μεγάλος Κάντορ με το «διαγώνιο επιχείρημα» του για τον πληθάριθμο του συνόλου των ρητών, μπορούμε να αριθμήσουμε μονοσήμαντα τις σελίδες του Βιβλίου της Άμμου με τους ρητούς που εμπεριέχονται στο διάστημα: [0 , 1]. Δεν θα υπάρχει ούτε πρώτη σελίδα, ούτε τελευταία. Στο μικρό διάστημα από το 0 έως το 1 χωράει ολόκληρη η απειρία του κόσμου αριθμημένη! (Ο Κάντορ βέβαια, ως γνωστόν, έδειξε ότι υπάρχουν και πιο «μεγάλα» άπειρα, των οποίων τα στοιχεία δεν απαριθμούνται)

Τι εννοεί όμως ο Αργεντίνος , όταν λέει πως σε έναν άπειρο χρόνο και χώρο βρίσκουμε οποιαδήποτε στιγμή ή σημείο αντίστοιχα; Ίσως ακριβώς αυτό που «μαθηματικοποιήσαμε» παραπάνω. Ίσως ότι εκεί χάνουμε τα σημεία αναφοράς και τα όριά τους.

Πραγματικά, σε πεπερασμένο χώρο και χρόνο μπορούμε να μιλάμε για αναλογίες, μισά, τέταρτα, όγδοα, αποστάσεις (χρονικές ή χωρικές) απ’αρχής ή από το τέλος. Στο άπειρο όμως αυτές οι έννοιες χάνουν (ή έστω «υποβιβάζεται») το νόημά τους.

Ας αφήσουμε το «Βιβλίο της Άμμου» , κι ας δούμε σε ένα άλλο πολύ μικρό του διήγημα το « Ο δίσκος» πόσο σαφή ιδέα του απείρου σε σχέση με τις χωρικές του διαστάσεις έχει ο Μπόρχες. Δείτε στο αμέσως αποκάτω απόσπασμα πώς προβάλλει στο προκείμενο η διάσταση και όχι ο πληθικός αριθμός:

« Η γραμμή αποτελείται από άπειρο αριθμό σημείων , το επίπεδο από άπειρο αριθμό γραμμών , ο όγκος από άπειρο αριθμό επιπέδων, ο υπερ-όγκος από άπειρο αριθμό όγκων…»

Στον «Δίσκο» ένας αχόρταγος και δολοφονικός ξυλοκόπος ψάχνει χρόνια ολόκληρα να βρει ένα ξεχωριστό αντικείμενο. Τον δίσκο του Οντίν, που έχει μόνο μία όψη.

«-Περιδιαβαίνω τους δρόμους της εξορίας αλλά είμαι ακόμη ο βασιλιάς αφού έχω τον δίσκο. Θες να τον δεις;

Άνοιξε τη χούφτα του κοκαλιάρικου χεριού του. Ήταν άδεια. Μόνο τότε θυμήθηκα πως την είχε πάντα κλειστή.

-Μπορείς να τον αγγίξεις.

Κάπως επιφυλακτικά άφησα τα ακροδάχτυλά μου να ακουμπήσουν την παλάμη του. Ένοιωσα κάτι κρύο και είδα μια λάμψη. Η χούφτα έκλεισε απότομα. Δεν είπα τίποτα. Ο άλλος συνέχισε σαν να μιλούσε σε μικρό παιδί.

-Είναι ο δίσκος του Οντίν. Έχει μόνο μία όψη. Στη Γη δεν υπάρχει άλλο αντικείμενο σαν αυτόν. Όσο το κρατώ στο χέρι θα είμαι ο βασιλιάς.

-Χρυσό είναι; -ρώτησα.

-Δεν ξέρω. Είναι ο δίσκος του Οντίν και έχει μόνο μία όψη.»

Ένας δίσκος, όπως αυτοί που όλοι ξέρουμε , έχει τρεις διαστάσεις και αφού έχει πάχος (έστω και πολύ μικρό) έχει δύο όψεις. Τα δυσδιάστατα όμως αντικείμενα δεν έχουν πάχος.

Η μαθηματική δημιουργία του Μπόρχες δείχνει ακριβώς ότι επειδή λείπει μια όψη από τον δίσκο, αυτός στερείται πάχους. Δίσκος με μία όψη! (εύλογο νομίζω θα ήταν, αν σε κάποιον αυτό θύμιζε το τοπολογικό ανάλογο της λωρίδας του Μέμπιους (Möbius) με τη μία πλευρά και τη μία ακμή της..)

Ας κλείσουμε με μια ιστορία, πάλι από το Ficciones, που έχει και ελληνική αναφορά και συγκεκριμένα αναφορά (έμμεση, πλην σαφή) στα περίφημα παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη. Αυτά που ο Ράσσελ θεωρούσε βαθιά, «λεπτά» και παρεξηγημένα.

Στην αστυνομική ιστορία μυστηρίου «Ο Θάνατος και η πυξίδα» (La muerte y la brújula), υπάρχει εδώ στην πρωτότυπη γλώσσα, λέει στο τέλος ο πρωταγωνιστής και τελικά θύμα, ντετέκτιβ Erik Lönnrot :

«..Yo sé de un laberinto griego que es una línea única, recta. En esa línea se han perdido tantos filósofos que bien puede perderse un mero detective»

«..Ξέρω έναν ελληνικό λαβύρινθο που αποτελείται από μία και μόνη ευθεία γραμμή. Σ’αυτή τη γραμμή έχουν χαθεί πολλοί Φιλόσοφοι, πόσο μάλλον ένας απλός ντετέκτιβ» και συνεχίζει την αναφορά/πρότασή του προς τον μέλλοντα δολοφόνο του, για μια απόσταση που γίνεται μισή, μετά τέταρτο , μετά όγδοο.. και συνεχώς υποδιπλασιάζεται επ’ άπειρον. 

Απειροσειρά μεν , αλλά ,όπως ξέρουμε, με πεπερασμένο όριο:

1+1/2 + 1/4 +1/8 +… +1/(2^ν) = 2

To έργο του Μπόρχες, όσον αφορά καθαρά τα Μαθηματικά, δεν εξαντλήθηκε- ούτε κατ’ ελάχιστον- με τα παραπάνω. Δεν είπα τίποτε ας πούμε για τον «Φούνες o μνήμων», τον «Κήπο με τα μονοπάτια που διακλαδώνονται» (σ’ αυτήν την ιστορία, πάλι από το Ficciones, διακρίνουν κάποιοι μελετητές ακόμη και συμπεράσματα Κβαντικής Μηχανικής) και για άλλα πολλά. Προσπάθησα απλώς να δώσω ένα γενικό υφολογικό περίγραμμα, με κάποια εμβάθυνση στην έννοια του Απείρου, όπως την πραγματεύονται τα Μαθηματικά του μεγάλου Αργεντίνου συγγραφέα.

Το 1999, με την ευκαιρία των 100 χρόνων από τη γέννησή του, κυκλοφόρησε το εικονιζόμενο αναμνηστικό νόμισμα των 2 πέσος. 

Ο λαβύρινθος της μιας όψης, είναι ιδανικός νομίζω για να κλείσω, θέτοντας το Μπορχεσικό (τρόπον τινά) ερώτημα /τοπολογικό προβληματάκι προς τους φίλους του ιστολογίου:

Πώς βγαίνει κάποιος από τον Λαβύρινθο αυτόν του Μπόρχες;

(το ερώτημα δεν είναι φιλοσοφικής φύσης, αλλά τοπολογικής! Υπάρχει δηλαδή όντως μαθηματικός τρόπος να βγει κάποιος από έναν Λαβύρινθο ,ασχέτως μεγέθους και πολυπλοκότητας, αρκεί να έχει είσοδο και έξοδο, και χωρίς τον Μίτο της Αριάδνης!) :-)

Γιώργος Ριζόπουλος, Λεμεσός, Απρίλης 2013

________________________________________________________

Σημείωση: Τα αποσπάσματα από «Το Βιβλίο της Άμμου» εκδ. Νεφέλη, Αθήνα 1982, είναι σε μετάφραση Σπύρου Τσακνιά. Απ’ όσο ξέρω, το βιβλίο είναι εξαντλημένο και δεν υπάρχει ούτε καν στην Εθνική Βιβλιοθήκη…