"Igitur R.m.9 non est 3.p. nec m. sed quaedam tertia natura abscondita......Quinquies exscriptus, maneat tot millibus annis"
"Ο αριθμός $\sqrt{−9}$ δεν είναι ούτε $3$ ούτε $-3$, αλλά κάποιο τρίτο είδος κρυμμένο (απόκρυφο)"
.....το αντέγραψα $5$ φορές και ελπίζω να ζήσει $5000$ χρόνια"
Girolamo Cardano "Ars Magna"
Είναι δυνατόν να αντιστοιχήσουμε σε κάθε σημείο του επιπέδου το χρώμα "κόκκινο" ή το χρώμα "πράσινο", με τέτοιον τρόπο ώστε το μέσον κάθε ευθύγραμμου τμήματος που έχει άκρα με το ίδιο χρώμα, να είναι του άλλου χρώματος;
Ας υποθεσουμε οτι υπαρχει τετοιος χρωματισμος. θεωρουμε τοτε δυο σημεια Α, Β, ιδιου χρωματος, εστω πρασινου. Επεται οτι το μεσο Κ του ευθυγραμου τμηματος ΑΒ ειναι χρωματος κοκκινου. Εξεταζουμε το σημειο Κ1, πανω στην ευθεια που οριζουν τα Α, Β,(φορα Α-->Β) το οποιο απεχει αποσταση απο το Β, ιση με την αποσταση ΚΒ. Προφανως ειναι κοκκινο και αυτο. Ομοια και το σημειο Κ2, πανω στην ευθεια που οριζουν τα Α, Β,(φορα Β-->Α) το οποιο απεχει αποσταση απο το Α, ιση με την αποσταση ΚΑ. Και αυτο ειναι κοκκινο. Μολις ειδαμε δηλαδη οτι το μεσο Κ του ευθυγραμμου τμηματος Κ1Κ2, έχει το ιδιο χρωμα με τα ακρα του.
ΑπάντησηΔιαγραφή*Σχολιο: Δεν θα μου εκανε εντυπωση, εαν ο κ. Ριζοπουλος, μετα την κατασκευη του (-1)^i, με κανονα και διαβητη, απαντουσε πως εχει ηδη καταφερει χρωματισμο τετοιο. :-))
Αγαπητή Αγγελική, σ'ευχαριστώ θερμά για το σχόλιό σου και την ωραία απόδειξη!
ΑπάντησηΔιαγραφήΜε γλίτωσες με την κομψή σου (μια απλή επέκταση κατά ίσο ευθύγραμμο τμήμα ένθεν κι ένθεν, μετά της πατροπαράδοτης απαγωγής εις άτοπον..ε βουαλά!) και απλή (κι ως εκ τούτου δύσκολη!) απόδειξη, από περιττές και αντιαισθητικές (σε σχέση με την δική σου)τοπολογικές φρικαλεότητες, που αποδεικνύουν το ίδιο. :-)
Σ'ευχαριστώ επίσης, γιατι με την χιουμοριστική παρατήρησή σου για την κατασκευή του e^(-π) μου δίνεις την ευκαιρία να αμπελοφιλοσοφήσω ελαφρώς και να πώ ότι όντως αν μπορούσα να κατασκευάσω έναν τέτοιο χώρο, όπου τα σημεία θα ήταν κοκκινα ή πρ΄σινα χωρίς αντίφαση, μ'αλλα λόγια σ'ενα αξιωματικό σύστημα που δεν θα είχε "αρχές μη αντίφασης" δηλαδή ένα σύστημα χωρίς ΣΥΝΟΧΗ, θα μπορούσα με έναν μετα-διαβήτη κι έναν μετά-κανόνα να κατσκευάσω γεωμετρικά έναν υπερβατικό αριθμό! Καθότι ένα τέτοιο σύστημα θα ήταν ΠΛΗΡΕΣ (σε αντίθεση με τα έχοντα συνοχή (όπως η Γεωμετρία και η Αριθμητική) που ΔΕΝ είναι πλήρη.
Άτιμε Κουρτ Γκαίντελ!..:-)
Άλλα επιφυλάσσομαι να γράψω ξέχωρα για την Τυπική Λογική και τα παράδοξά της και τις εφαρμογές του e στην καθημερινότητα. (εξάλλου πληρώνομαι με το κομματι απο τον κο Ρωμανίδη, και με τα χάλια και την αφραγκία μας εδώ κάτω...ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΜΕ ΚΑΛΟΙ ΜΟΥ ΑΝΘΡΩΠΟΙ!..ψυχικό θα κάνετε!)
Νά είσαι καλά Αγγελική και...μή χάνεσαι! Να σχολιάζεις και δεν θα χάσεις! (ούτε εμείς βέβαια θα χάσουμε, αντιθέτως!):-)
"..όπου το ίδιο σημείο θα ήταν κόκκινο ΚΑΙ πράσινο ταυτόχρονα,χωρίς αντίφαση.." εννοούσα αποπάνω ασφαλώς!
ΑπάντησηΔιαγραφήΜε κάποια καθυστέρηση ίσως, θέλω να εκφράσω μια επιφύλαξη για την εγκυρότητα της πιο πάνω απόδειξης, εκτός κι αν δεν έχω αντιληφθεί κάτι σωστά στη διατύπωση της συνθήκης χρωματισμού των σημείων:
ΑπάντησηΔιαγραφήΌπως την καταλαβαίνω λοιπόν εγώ, η συνθήκη αυτή ορίζει ότι αν δύο σημεία έχουν το ίδιο χρώμα, τότε το μεσαίο μεταξύ τους σημείο πρέπει να έχει το άλλο χρώμα. Δε μας λέει τίποτα όμως για το χρώμα του μεσαίου σημείου στην περίπτωση που τα δύο ακραία σημεία έχουν διαφορετικό χρώμα, όπως επίσης δε μας λέει και ότι αν ένα σημείο έχει κάποιο χρώμα, τότε και όλα τα σημεία που (ανά δύο) το έχουν μέσο τους πρέπει αναγκαστικά να έχουν και τα δύο το άλλο χρώμα.
Νομίζω ότι η απόδοση κόκκινου χρώματος στα σημεία Κ1 και Κ2, όπως ορίστηκαν πιο πάνω, καθώς και η περαιτέρω αναγωγή σε άτοπο, βασίζεται σε μια τέτοια 'επεκτατική' ερμηνεία της συνθήκης, η οποία δεν είναι καθόλου προφανής, αν είναι καν έγκυρη.
Σε συνέχεια του προηγούμενου σχολίου μου, προτείνω την ακόλουθη εναλλακτική απόδειξη, η οποία βασίζεται στην ίδια ιδέα, της προέκτασης ενός ευθύγραμμου τμήματος αριστερά – δεξιά και χρήσης της ‘εις άτοπον απαγωγής’, αλλά νομίζω ότι την εφαρμόζει με αυστηρότερη λογική.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που τα άκρα του Α, Β είναι π (πράσινα) και το μέσο του Μ είναι κ (κόκκινο). Προεκτείνουμε το ΑΒ αριστερά και δεξιά και ορίζουμε πάνω στις προεκτάσεις τα σημεία Η, Ε (αριστερά του Α) και Δ, Ζ (δεξιά του Β) έτσι ώστε ΒΔ=ΔΖ=ΕΑ=ΗΕ=ΜΑ=ΜΒ. Τα σημεία Ε και Δ δεν μπορούν να είναι κ και τα δύο γιατί θα είχαμε κ τα Ε-Μ-Δ (με Μ μέσο του ΕΔ). Επομένως, τα Ε,Δ θα πρέπει να είναι ή π το ένα και κ το άλλο ή και τα δύο π. Εξετάζουμε τις δύο αυτές περιπτώσεις ξεχωριστά.
Περίπτωση 1 (Ε->π, Δ->κ)
Το Ζ πρέπει να είναι κ, αφού αν είναι π θα έχουμε π τα Α-Β-Ζ (με Β μέσο του ΑΖ). Το Η πρέπει επίσης να είναι κ, αφού αν είναι π θα έχουμε π τα Η-Ε-Α (με Ε μέσο του ΗΑ). Αν όμως Η και Ζ είναι και τα δύο κ, θα έχουμε κ τα Η-Μ-Ζ (με Μ μέσο του ΗΖ). Οδηγηθήκαμε σε άτοπο. (Η αντίθετη περίπτωση με Ε->κ, Δ->π είναι απολύτως συμμετρική και αντιμετωπίζεται με όμοιο τρόπο, καταλήγοντας επίσης σε άτοπο)
Περίπτωση 2 (Ε->π, Δ->π)
Το Ζ πρέπει να είναι κ, αφού αν είναι π θα έχουμε π τα Β-Δ-Ζ (με Δ μέσο του ΒΖ). Το Η πρέπει επίσης να είναι κ, αφού αν είναι π θα έχουμε π τα Η-Ε-Α (με Ε μέσο του ΗΑ). Αν όμως Η και Ζ είναι και τα δύο κ, θα έχουμε κ τα Η-Μ-Ζ (με Μ μέσο του ΗΖ). Οδηγηθήκαμε και εδώ σε άτοπο.
Επομένως, δεν είναι εφικτός ο ζητούμενος χρωματισμός.