Έστω κύβος $ABCDEFGH$ με ακμή $30$.
Τα τετράεδρα $ACFH$ και $BDEG$ είναι κανονικά. Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που σχηματίζεται από την τομή των δύο τετραέδρων.
USA Purple Comet 2013
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα. Κατα βάση είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό:
ΑπάντησηΔιαγραφήhttp://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/2011_AMC_10A_Problems/Problem_24
Aν αντί για μοναδιαίο κύβο (unit cube) θεωρήσουμε κύβο ακμής 30 ,έχουμε τη λύση.
(1/6)*Vκύβου= (1/6)*30^3=4.500
Και μία δεύτερη προσέγγιση με πολυτεχνική (και αρχιτεκτονική) ματιά ιδωμένο που θα έλεγε και ο συμπαθέστατος Ντονάλτιος Ντούκιος
ΑπάντησηΔιαγραφήΠαρατηρώντας τον κύβο και το καθένα από τα τετράεδρα βλέπουμε ότι το κάθε τετράεδρο, ας πούμε το BDEG αφήνει εκτός του 4 ορθογώνια τετράεδρα.
Τα BDCG, BGFE, ADBE και DHEG, το κάθε ένα από αυτά
έχει όγκο (1/3)*(1/2)*30*30*30=1/6*30^3, άρα και τα τέσσερα μαζί έχουν όγκο (2/3)*30^3, άρα το BDEG έχει όγκο 30^3-(2/3)*30^3=(1/3)*30^3
Επίσης παρατηρούμε ότι εκτός της τομής προεξέχουν 4 μικρά τετράεδρα, όμοια με τα μεγάλα αρχικά και μάλιστα με αναλογία γραμμικών μεγεθών 1:2 ,
άρα όγκος μικρού=1/3*(1/2^3)=1/24) του κύβου, άρα και τα τέσσερα μικρά (4/24=1/6)του κύβου=(1/6)*30^3
Άρα η τομή έχει όγκο =(1/3 -1/6)*30^3=(1/6)30^3