Έστω τρίγωνο $ABC$. Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών $BC, CA$ και $AB$ στα σημεία $D, E$ και $F$, αντίστοιχα. Αν η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι $4$ και τα μήκη των $BD, CE$ και $AF$ είναι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί, να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου $ABC$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Όσο ο Ε.Αλεξίου είναι απασχολημένος με τις κάρτες των μαθητών του Σωκράτη, σπεύδω να αλγεβρο-γεωμετρήσω λίγο (να θυμηθώ και τα νιάτα μου..:-))
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ΒD=κ ,οπότε CE=κ+1 και AF=κ+2
Άρα CD=CE=κ+1 και ομοίως τω τρόπω: ΑE=κ+2 και ΒF=κ
Έτσι προκύπτει ότι η πλευρά α=BC=K+k+1=2κ+1
β=CA=(κ+1)+(κ+2)=2κ+3
γ=ΑΒ=κ+2+κ=2κ+2
Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Ήρωνα ,οπότε μας χρειάζεται η ημιπερίμετρος s
S=(α+β+γ)/2 = 3κ+3 ,και
s-α=κ+2
s-β=κ
s-γ=κ+1
Τύπος Ήρωνα:
Εμβαδό (ΑBC)=sqrt{s(s-a)(s-β)(s-γ)}
Και ως γνωστόν το Εμβαδό είναι Ε=ρ*s
Άρα ρ=4= sqrt{s(s-a)(s-β)(s-γ)}/s
Ή 4=sqrt(κ+2)*κ*(κ+1)/(3κ+3)
Υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε:
16=(κ+2)*κ/3
κ^2 +2κ -48=0
κ= (6 ,-8)
Άρα κ=6 ,οπότε α=13, β=15 και γ=14
Ωραίο προβληματάκι Σωκράτη. Απο τι είδους διαγωνισμό είναι; (μαθητικό, εθνικό,φοιτητιάδα,ολυμπιάδα;)
ΑπάντησηΔιαγραφή