▪Ανακλαστική Ιδιότητα Παραβολής

Μια σπουδαία ιδιότητα της παραβολής, γνωστή ως ανακλαστική ιδιότητα είναι η εξής:

Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο επαφής $M_1$ διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία $M_{1}E$ και η ημιευθεία $M_{1}t$ , που είναι ομόρροπη της $ΟΕ$, όπου $Ε$ είναι η εστία της παραβολής.

Απόδειξη

Έστω ε η εφαπτομένη της παραβολής στο $M_1(x_1,y_1)$ και $N_1$ το σημείο τομής της με τον άξονα x'x. Για να δείξουμε ότι $φ_1=φ_2$, αρκεί να δείξουμε ότι $ω_1=ω_2$ ή ισοδύναμα ότι

$ΕΜ_1=ΕΝ_1$.

Πράγματι, επειδή η $ε$ έχει εξίσωση $yy_1 = p(x + x_1)$, το $N_1$ θα έχει συντεταγμένες $( -x_1,0)$, οπότε θα ισχύει

$(ΕΜ_1)=\sqrt{(x_1-\frac{p}{2})^2+y_1^2}$

και

$(ΕΝ_1)=\mid\frac{p}{2}+x_1\mid$.

Επομένως, έχουμε:

$(ΕΜ_1)=\sqrt{(x_1-\frac{p}{2})^2+y_1^2}=\sqrt{(x_1-\frac{p}{2})^2+2px_1}$

$=\sqrt{(x_1+\frac{p}{2})^2}=\mid{x_1+\frac{p}{2}}\mid=(ΕΝ_1)$.