▪ Η Άσκηση του Μήνα - Απρίλιος 2013

 Του Νίκου Ζανταρίδη                                                            

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:R\to R$ για την οποία ισχύουν:

$f(R)=(0,+\mathrm{\infty })$ και
$f(x+f(y))>f(x-f(y))$

για κάθε $x,y\in R$.

1) Να δείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $R$ 

2) Να βρείτε τα όρια

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$, ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$

3) Θεωρούμε τη συνάρτηση
$g(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x}\cdot {\int }_x^{2x}f(t)dt,& x\ne 0\\ \\ f(0)\phantom{xxxxxxx},& x=0\end{array}$

α) Να δείξετε ότι η $g$ είναι γνησίως αύξουσα στο $R$

β) Να δείξετε ότι

${\int }_{2^{\nu -1}}^{2^{\nu }}f(t)dt>2^{\nu -1}{\int }_1^{2}f(t)dt$

όπου $\nu \in N$, $\nu \ge 2$.

γ) Αν επιπλέον η $C_f$ έχει στο $+\mathrm{\infty }$ ασύμπτωτη την ευθεία $y=2x$, να βρείτε τα όρια:

$L_1={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_x^{2x}\frac{f(t)}{x^2}dt}$ και

$L_2={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(f(2x)-2f(x))}$.

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Κάντε κλικ εδώ, για να το εκτυπώσετε και στους παρακάτω συνδέσμους για να δείτε τη λύση του θέματος, από τον συνάδελφο Μιχάλη Σουλάνη:

[σελ.1, σελ.2, σελ.3, σελ.4]