Στο παρακάτω σχήμα, το μεγάλο ισόπλευρο τρίγωνο κατασκευάστηκε χρησιμοποιώντας οδοντογλυφίδες, με τέτοιο τρόπο ώστε στο εσωτερικό του, να σχηματίζονται τρεις σειρές μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα.
Στη γραμμή βάσης έχουμε $5$ μικρά τρίγωνα. Πόσες οδοντογλυφίδες θα χρειαστούμε προκειμένου να κατασκευάσουμε ένα μεγάλο ισόπλευρο τρίγωνο, ώστε στη γραμμή βάσης του, να έχουμε $2003$ μικρά ισόπλευρα τρίγωνα;
USA AMC 10 2003
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Παρατηρούμε ότι ότι τα τρίγωνα της γραμμής βάσης
ΑπάντησηΔιαγραφήστο σχήμα που είναι 5 ισούνται με τα μήκη-σπίρτα
της γραμμής βάσης (3)+(3-1) που είναι τα αμέσως παραπάνω παράλληλα προς αυτά μήκη-σπίρτα και αυτή
η σχέση διατηρείται όσο μεγάλο και αν είναι το μεγάλο ισόπλευρο τρίγωνο.
Έστω ότι ν τα μήκη-σπίρτα της γραμμής βάσης
και ν-1 της αμέσως παραπάνω παράλληλης γραμμής
και επειδή ο αριθμός των τριγώνων βάσης
είναι 2003 ισχύει ν+ν-1=2003 => ν=1002
Άρα περιμετρικά σπίρτα =1002*3=3006
Μπορούμε να παρατηρήσουμε επίσης τα απαιτούμενα
προς κατασκευή εσωτερικά τρίγωνα, 3 σπίρτα
έκαστον ακολουθούν απλή αριθμητική πρόοδο,
αν τα κοιτάξουμε υπό γωνία 60 μοιρών ως προς
τη βάση την πρόοδο 1,2,3,..1001
στο σχήμα το (4) 1 τρίγωνο αριστερά και υπό
γωνία 60 μοιρών το (2) και 1 πάνω και δεξιά
του, 2 τρίγωνα , πιο αριστερά 3 πλευρικά
μήκη-σπίρτα που πλευρές των επόμενων 3 τριγώνων
κ.ο.κ 4 τρίγωνα, 5 τρίγωνα,...μέχρι (1002-1)
τρίγωνα. Συνεπώς χρειάζεται να κατασκευάσουμε
1+2+3+4+5+...+1000+1001=1001*(1+1001)/2=
501.501 τρίγωνα. Άρα απαιτούμενα σπίρτα
για την κατασκευή των τριγώνων
501501*3=1.504.503 σπίρτα
Άρα σύνολον σπίρτων μαζί με τα περιμετρικά
3006+ 1.504.503=1.507.509 σπίρτα.