Τρίτη 26 Μαρτίου 2013

▪ $n=?$

Οι τρεις πρώτοι μιας αριθμητικής προόδου είναι $tanx, cosx, secx$. Αν ο $n$- οστός όρος της προόδου είναι $cotx$, τότε $n=?$
Αναρτήθηκε από στις 26.3.13
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS26 Μαρτίου 2013 στις 5:48 μ.μ.

    α1=tanx, α2=cosx ,α3=secx
    Ο λόγος, έστω d, της αρ.προόδου είναι:
    a2-a1=cosx-tanx=cosx-(sinx/cosx)
    d=(cos^2x-sinx)/(cosx) (a)
    α3-α2=secx-cosx=(1/cosx)-cosx=(1-cos^2x)/cosx=(sin^2x)/cosx (b)
    α2-α1=α3-α2=d
    cosx-tanx=secx-cosx ή
    cosx+cosx=secx+tanx
    2cosx=(1/cosx)+(sinx/cosx)
    2cosx=(1+sinx)/cosx
    2cos^2(x)=1+sinx (c)

    Από τις (a) και (b) έχουμε:
    (cos^2x-sinx)/(cosx)=(sin^2x)/(cosx)
    απαλείφοντας το cos(x) εκατέρωθεν
    cos^2x-sinx=sin^2x
    cos^2x=sinx+sin^2x
    cos^2x=sinx(1+sinx)
    cos^2x=sinx(2cos^2x) (από την (c))
    cos^2x/2cos^2x=sinx
    1/2=sinx (απαλείφοντας το cos^2(x) εκατέρωθεν )
    Το ημίτονο αυτό(1/2) αντιστοιχεί σε x=30
    Μας δίνεται ότι :a(n) = cotx .
    d=α2-α1=cos30-tan30=1/(2sqrt(3))
    Για τον n-ιοστό όρο ισχύει: α(n)=a1+(n-1)*d
    άρα: cot30=tan30+(n-1)1/(2sqrt(3))
    Λύση αυτής: n=5 , άρα ο 5ος όρος είναι cot(x)=cot(30)

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)