▪ Mια συνάρτηση που ταλαντώνεται πάρα πολύ για να έχει όριο

Πρόβλημα
Δείξτε ότι η $y=sin (\frac{1}{x})$ δεν έχει όριο καθώς το $x$ τείνει στο μηδέν από οποιαδήποτε πλευρά. 

Λύση 

Kαθώς το $x$ τείνει στο μηδέν, ο αντίστροφός του, $\frac{1}{x}$, αυξάνεται απεριόριστα και οι τιμές του $sin (\frac{1}{x})$ ταλαντώνονται ολοένα και πιο γρήγορα μεταξύ των τιμών $-1$ και $1$. 

Δεν υπάρχει μοναδικός αριθμός $L$ τον οποίο να προσεγγίζουν οι τιμές της συναρτήσεως καθώς το $x$ τείνει στο μηδέν, ακόμα και αν περιορίσουμε το $x$ σε θετικές ή αρνητικές μονάχα τιμές. Έτσι η συνάρτηση δεν έχει ούτε δεξιό ούτε αριστερό όριο στο $x=0$.