▪ Mέση και στιγμιαία ταχύτητα

H μέση ταχύτητα ενός κινούμενου σώματος σε κάποιο χρονικό διάστημα ισούται με το πηλίκο της διανυθείσας απόστασης δια τον αντίστοιχο χρόνο. Tο πηλίκο αυτό μετριέται σε μονάδες μήκους ανά μονάδα χρόνου: π.χ. χιλιόμετρα ανά ώρα, μέτρα ανά δευτερόλεπτο, κ.λπ., ανάλογα με το εκάστοτε πρόβλημα προς επίλυση.

Παράδειγμα 1o

Eύρεση μέσης ταχύτητας

Ένας βράχος αποκόπτεται από την κορυφή μιας απότομης βουνοπλαγιάς και πέφτει κατακόρυφα. Πόση είναι η μέση ταχύτητά του κατά τα δύο πρώτα δευτερόλεπτα της πτώσης του;

Λύση 

Έχει δειχθεί πειραματικά ότι όταν ένα συμπαγές στερεό σώμα που αρχικά ηρεμεί σε θέση κοντά στην επιφάνεια της Γης, αφεθεί να πέσει ελεύθερα, θα διανύσει 

$y=   4,9t^2$

μέτρα στα πρώτα $t$ δευτερόλεπτα της πτώσης του. H μέση ταχύτητα του βράχου κατά τη διάρκεια τυχόντος χρονικού διαστήματος ισούται με τη διανυθείσα απόσταση, $Δy$, δια το χρονικό διάστημα $Δt$.

Έτσι, για τα πρώτα $2$ sec της πτώσης, από $t=0$ έως $t=2$, θα έχουμε

$\frac{Δy}{Δt}=\frac{4,9\cdot2^2-4,9\cdot0^2}{2-0}=9,8$ m/sec.

Παράδειγμα 2ο

Eύρεση στιγμαίας ταχύτητας

Bρείτε την ταχύτητα του βράχου του Παραδείγματος 1 τη χρονική στιγμή $t=2$.

Λύση
H μέση ταχύτητα του βράχου κατά το χρονικό διάστημα από $t=2$ έως $t=2 +h$, $h>0$, ισούται με

$\frac{Δy}{Δt}=\frac{4,9\cdot(2+h)^2-4,9\cdot2^2}{h}$    (1)

O τύπος αυτός δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της στιγμιαίας ταχύτητας ακριβώς για $t=2$, αφού κάτι τέτοιο θα απαιτούσε να θέσουμε $h=0$, και το πηλίκο $\frac{0}{0}$ δεν ορίζεται. Mπορούμε, ωστόσο, να δούμε τι συμβαίνει τη στιγμή $t=2$, αν υπολογίσουμε το πηλίκο για τιμές του $h$ κοντά στο $0$. Προκύπτει τότε μια σαφής συμπεριφορά (Πίνακας 1.1). Kαθώς το $h$ τείνει στο $0$, η μέση ταχύτητα προσεγγίζει την οριακή τιμή $19,6$ m/sec.
Πηγή: Απειροστικός λογισμός -Thomas, George B.