«Ρώτα πέντε οικονομολόγους και θα πάρεις πέντε διαφορετικές απαντήσεις. Έξι, αν ο ένας είναι του Χάρβαρντ.»
Edgar R. Fiedler (διάσημος Αμερικ. οικονομολόγος)
Παίζετε το εξής παιχνίδι:
Στρίβετε ένα «τίμιο» νόμισμα (σαν το «ευρώ» ας πούμε..) μέχρι να φέρετε «γράμματα». Όσες φορές ρίξετε το νόμισμα, τόσα ευρώ κερδίζετε. Ας πούμε, αν φέρετε αμέσως με την πρώτη: «γράμματα», κερδίζετε $1$ ευρώ. Αν φέρετε κατά σειρά Κ-Γ κερδίζετε $2$ ευρώ, κλπ. Ποια είναι η αναμενόμενη τιμή των κερδών σας;
2η ερώτηση
Το ίδιο παιχνίδι, μόνο που τώρα ο αριθμός των ευρώ που κερδίζετε ισούται με:
Το ίδιο παιχνίδι, μόνο που τώρα ο αριθμός των ευρώ που κερδίζετε ισούται με:
$2^{ν-1}$
όπου ν είναι ο αριθμός ρίψεων που χρειάζεστε μέχρι να έρθει «γράμματα».
Ποια είναι σ’αυτήν την περίπτωση η αναμενόμενη τιμή κερδών; Σάς φαίνεται λογικό το αποτέλεσμα ή παράδοξο;
Στρίβοντας το νόμισμα την 1η φορά έχουμε πιθανότητα p1=1/2 να φέρουμε γράμματα και να κερδίσουμε 1 ευρώ, αναμενόμενο κέρδος 1 ευρώ*1/2 = 1/2 ευρώ, αν φέρουμε Κ ξαναρίχνουμε το νόμισμα και έχουμε πιθανότητα (1/2)*(1/2) =1/2^2 να φέρουμε Γ (δηλαδή ΚΓ) και να κερδίσουμε
ΑπάντησηΔιαγραφή2 ευρώ , αν ξαναφέρουμε κορώνα ξαναρίχνουμε το νόμισμα (3η φορά) και έχουμε πιθανότητα (1/2^2)*1/2 = 1/2^3 να φέρουμε Γ(KKΓ)και να κερδίσουμε 3 ευρώ κ.ο.κ, με το ν-ιοστό ρίξιμο έχουμε πιθανότητα 1/2^ν να φέρουμε Γ
(ΚΚΚ,..,{(ν-1)Κ}Γ και να κερδίσουμε ν ευρώ.
Ρισκάρω πιο πολύ παρά είμαι σίγουρος για την ορθότητα της προσέγγισης μου (τώρα διαβάζω το 1ο βιβλίο Πιθανοτήτων μετά από δεκαετίες) ότι έχουμε μία τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ που παίρνει τιμές Χ1=1, Χ2=2, Χ3=3,.., Χν=ν με αντίστοιχες πιθανότητες να συμβούν, να κερδίσουμε,
p1=1/2, p2=1/2^2, p3=1/2^3,...,pν=1/2^ν
Κατά συνέπεια ξαναρισκάρω ότι το αναμενόμενο κέρδος ισούται με την μέση τιμή της μεταβλητής Χ
μ.τ.= Ε(Χ) = p1X1+p2X2+p3X3+...+pνΧν=
(1/2)*1+(1/2^2)*2 + (1/2^3)*3+...+(1/2^ν)*ν, πού μάλλον έχει όριο το 2
Άρα(?) αναμενόμενη τιμή κερδών 2 ευρώ
Ερώτηση 2η
Μ ετην ίδια λογική-ρίσκο
Χ1=2^(1-1) = 2^0, p1 =1/2 ,
Χ2= 2^(2-1) =2^1, p2 =1/2^2
X3=2^2, p3=1/2^3
….............................
…..............................
Xν = 2^(ν-1), pν = 1/2^ν
Μέση τιμή Ε(Χ) = p1X1+p2X2+p3X3+...+pνΧν=
= (1/2)*1 + (1/2^2)*2 + (1/2^3)*2^2 +...+ (1/2^ν)*2^(ν-1) =
= 1/2+1/2+1/2+....+1/2 (ν φορές) = ν/2
Αναρτώ την προσέγγιση μου κυρίως για να ανοίξει ο διάλογος πάνω στο πρόβλημα.
Αγαπητέ κύριε Αλεξίου ,ευχαριστώ για το σχόλιό σας!
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ απαντήσεις σας είναι πολύ σωστές! (εκτός από ένα στραβοπάτημα ακριβώς στο τέλος.:-))
Άπειρα(=ν) μισά(1/2) ,όπως συνειδητοποιείτε σίγουρα με απόγνωση :-) καθώς διαβάζετε αυτές τις γραμμές, δεν κάνουν ν/2,αλλά άπειρο. :-)Γι'αυτό και η ερώτηση στο β)σάς φαίνεται λογικό το αποτέλεσμα ή παράδοξο;
Δίνω κάποιο έναυσμα για περαιτέρω προβληματισμό.
Στο α) ακριβώς όπως τα είπε ο κος Αλεξίου, το μέσο κέρδος είναι:1/2 + 2/4 + 3/8 +...+ που γράφεται και:
(1/2 + 1/4 + 1/8+ 1/16+..)+ (1/4 + 1/8 + 1/16+..) +
(1/8 + 1/16 +...) που δίνει= (1)+(1/2)+(1/4)+...
που κάνει όντως 2, όπως είπε ο κος Αλεξίου.
Στο β)καθότι έχουμε μια πιθα. 1/2 να κερδίσουμε 1 ευρώ, 1/4 να κερδίσουμε 2 ευρώ, 1/8 να κερδίσουμε 4 ευρώ κλπ, το αναμενόμενο κέρδος είναι όντως (όπως και πάλι σωστά το υπολόγισε ο κος Αλεξίου)
1/2 + 2/4 + 4/8 +8/16+.. = 1/2 + 1/2 + 1/2+..=άπειρο.
Εδώ, προκύπτει το παράδοξο.
Η αναμενόμενη τιμή (μαθ.ελπίδα) είναι άπειρο ,αλλά κανείς εχέφρων άνθρωπος (πλην ίσως κάποιων "παιχνιδιάρηδων" εις Βρυξέλλας..)δεν θα πόνταρε ένα άπειρο ποσό (ή ακόμη και κάποια εκατομμύρια)για να έχει την ευκαιρία να παίξει άπαξ αυτό το παιχνίδι. έτσι δεν είναι; :-)
Ποια είναι η λύση στο παράδοξο;
Κε Αλεξίου, ζητώ συγγνώμη! (είμαι λίγο αποχαζεμένος λόγω των εξελίξεων στον τόπο μου,καταλαβαίνετε!)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑσφαλώς το ν/2 είναι σωστό και ασφαλώς τείνει στο άπειρο για ν τείνον στο άπειρο. :-)
Η λύση στο παράδοξο είναι το καπιταλιστικό σύστημα και οι φούσκες με τα κέρδη τραπεζών και το ψεύτικο πλαστικό χρήμα(άπειρα σε σχέση με το ΑΕΠ)
ΑπάντησηΔιαγραφή:-) :-)
Λογικό αφού η συνάρτηση 2^(ν-1) είναι αύξουσα εκθετική και για ν->άπεορο τότε και αυτή τείνει στο άπειρο.Η λύση του παραδόξου είναι ότι η μέση τιμή δεν εκλαμβάνει υπόψιν to variance διάστημα εμπιστοσύνης.Το παράδοξο προκύπτει από το γεγονός ότι έχουμε εκθετική μείωση της πιθανότητας να πετύχουμε ένα ποσό που αυξάνει με τρομακτικά με εκθετικό ρυθμό.Άρα αν κάποιος τζογαδόρος επιχειρήσει να ποντάρει έτσι θα την πατήσει αφού θα πέσει έξω από τα όρια εμπιστοσύνης.Τα συστατικά της μέσης τιμής δεν είναι ισοπίθανα και τα μεγαλύτερα ποσα΄έχουν πολύ μικρότερη πιθανότητα να εμφανιστούν
ΑπάντησηΔιαγραφήΠ.χ. το 60 -οστό (1/2) είναι σχεδόν αδύνατον να εμφανιστεί.Η παγίδα είανι ότι μετά τις απαλοιφές δεν το βλέπουμε εκεί
Υ.Γ Από την Κύπρο είστε?Είμαστε όλοι στο πλευρό σας(εκτός από τους πολιτικάντηδες)
Kαλέ μου Ντονάλτιε, σ'ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Είμαι Ελλαδίτης (εκ Ρούμελης)αλλά ζω αρκετά χρόνια στην Κύπρο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπί της ουσίας της ανάρτησης, επίτρεψέ μου να περιμένω μήπως θέλει και κάποιος άλλος να ασχοληθεί σχετικά. :-) (είσαι πάντως μέσα στα πλαίσια..:-))
Καταρχην να εκφράσω όχι απλώς την κατανόηση αλλά και την συμπαράσταση
ΑπάντησηΔιαγραφήκαι την αγανάκτηση γιαυτά που συμβαίνουν ξανά στο μαρτυρικό και περήφανο νησί
και τα συγχαρητήρια μου και την συνυπογραφή μου στο συμβολικά και προφητικά θα έλεγα σπασμένο ευρώ, θέμα χρόνου είναι.!
Όσον αφορά το θέμα του παραδόξου ή όχι δεν απάντησα αρχικά περιμένοντας την απάντηση σας για την αναμενόμενη τιμή κερδών (μικρή πιθανότητα έδινα να είναι σωστή η προσέγγιση μου!)
Όπως φαίνεται πεντακάθαρα στην ακολουθία των τιμών των πιθανοτήτων
1/2 ,1/4 , 1/8, ...1/2^ν , που είναι μία πολύ γνωστή ακολουθία της οποίας των άθροισμα των όρων της έχει όριο το 1 πολύ, πάρα πολύ πριν το ν πλησιάσει στο άπειρο και όπως αναφέρει ο Κάλβιν Κλάουσον στο βιβλίο του “Μαθηματικά Μυστήρια” στο κεφάλαιο “Ακολουθίες και Σειρές” μπορούμε να πούμε και από το ν=37 ότι στην πράξη έχει προσεγγίσει το όριο και ο όρος
1/2^37 προσεγγίζει το 0.
Το προχώρησα λίγο περισσότερο και πάνω στο συγγεκριμμένο πρόβλημα
Η πιθανότητα για να φτάσουμε στην 100η ρίψη και να έρθει Γ (ΚΚΚ,..., (99 φορές Κ)Γ
είναι 1/ (1,27*10^30)! και να έχουμε αναμενόμενο κέρδος 100/2 = απλώς 50 ευρώ
η δε πιθανότητα να φτάσουμε στην 1000η ρίψη είναι 1/10,92 *10^300 !!, εντελώς αδύνατον να συμβεί και να κερδίσουμε 1000/2 = πάλι απλώς 500 ευρώ.
@Ριζόπουλος
ΑπάντησηΔιαγραφήΣας στέλνω και το συγκινητικό κείμενο του Αλκίνοου Ιωαννίδη(στην Κύπρο γεννημένος) για την κρίση.Ανατρίχιασα
http://www.alkinoos.gr/el/news.html
Το παράδοξο αυτό έχει ξαναεμφανισθεί στο παρόν μπλογκ (Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης). Έχει αντιμετωπιστεί με διάφορους τρόπους (βλ. για παράδειγμα το αντίστοιχο λήμμα στη βικιπαίδεια St. Petersburg paradox).
ΑπάντησηΔιαγραφήΠέρα από τα όσα έχουν ειπωθεί, νομίζω ότι το άπειρο είναι από μόνο του ένα "παράδοξο" και η παραδοξότητα του συγκεκριμένου παιχνιδιού οφείλεται κατά βάση στη φύση του απείρου και στην αντιδιαστολή της με το πεπερασμένο της ύπαρξής μας. Για άπειρα όντα, όντα δηλαδή με άπειρο χρόνο στη διάθεσή τους και αντίστοιχα άπειρα χρήματα, δεν θα υπήρχε παράδοξο.
Πολύ σωστές και διορατικές οι παρατηρήσεις και των δύο εκλεκτών σχολιαστών!
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο "παράδοξο" προκύπτει όντως επειδή στην περίπτωση αυτή ορίζουμε την μαθηματική ελπίδα
σαν τη μέση τιμή ενός ΑΠΕΙΡΟΥ αριθμού πειραμάτων (ρίψεων) ή ακριβέστερα σαν το όριο lim για ν--άπειρο) αλλά απλά ΔΕΝ πρόκειται να παιξουμε άπειρο αριθμό παιχνιδιών.
Το θέμα προσφερεται θεωρώ για λιγη εμβαθυνση /ανάλυση.
Μ'άλλα λόγια, η σωστά υπολογισμένη αναμενόμενη τιμή ΔΕΝ συμφωνεί με τις συνθηκες του πειράματός μας, επειδή αυτό δεν έχει τιποτε να κάνει με τον ΑΚΡΙΒΗ ΟΡΙΣΜΟ μιας "μαθηματικής ελπίδας".
Αν μπορούσαμε (με κάποιο μαγικό τρόπο) να παιξουμε όντως άπειρο αριθμό παιχνιδιών, ΤΟΤΕ όντως θα είχαμε άπειρη μέση τιμή στα αναμενόμενα κέρδη μας!
Το παράδοξο δηλαδή προκύπτει απο την νοητική μας προσπάθεια να κάνουμε την "αναμενόμενη τιμή" να σημαίνει κάτι που ΔΕΝ μπορεί να σημαίνει.
Λίγο "φιλοσοφικά" και περίεργα τα είπα ,οπότε ας γίνουμε πιο ακριβείς (μαθηματικό μπλογκ είμαστε διάολε!):-)
Ας πάρουμε την περίπτωση εργασίας που κάποιος παίζει Ν=2^ν παιχνίδια (κι όχι 1)
Πόσα χρήματα θα άξιζε να ποντάρει ένα "λογικό" άτομο μπροστά, για να έχει τη δυνατότητα να παίξει Ν παιχνίδια;
Λοιπόν, σε περίπου 2^(ν-1) παιχνίδια θα κερδίσει 1 ευρώ, σε 2^(ν-2) θα κερδίσει 2, σε 2^(ν-3) θα κερδίσει 4 ,..κλπ.
μέχρις ότου σε ένα (1) παιχνίδι κερδίσει 2^(ν-1) ευρώ!
Επι προσθέτως , υπάρχουν και οι ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΙ αριθμοί παιχνιδιών (που δεν έχουν καμία φυσική σημασία βέβαια,αλλά ΕΧΟΥΝ μαθηματική) όπου "κερδίζει" μεγάλα χρηματικά ποσά. (για παράδειγμα σε μισό(1/2) παιχνίδι κερδίζει 2^ν ,κλπ ) !
Προσθέτωντας τις παραπάνω μέσες τιμές έχουμε τα συνολικά κέρδη σαν :
2^(ν-1)*1 + 2^(ν-2)*2 + 2^(ν-3)*4+...+1*2^(ν-1) = ν* 2^(ν-1)
Άρα η μέση τιμή αυτών των "κερδών" για Ν=2^ν παιχνίδια είναι: ν*2^(ν-1) / 2^ν
= ν/2 = log(2)N /2 (το μισό του λογάριθμου βάσης 2 του Ν)
Άρα αποδείξαμε -αυστηρώς μαθηματικά- ότι ένας λογικός άνθρωπος θα περιμένει να κερδίσει ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ log(2)N /2 ευρώ ΑΝΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙ!
(με τον όρο "θα περιμένει" αποπάνω, εννοούμε όμως ουσιαστικά ότι αν παίξει έναν πολύ μεγάλο αριθμό σετς των Ν παιχνιδιών, και ΜΕΤΑ υπολογιστεί ο μέσος όρος των κερδών αυτών των σετς, θα κερδίσει τουλάχιστον ν*2^(ν-1) ευρώ ανά σετ!)
Η παραπάνω "συγκεκριμενοποίηση με αριθμούς" ασφαλώς μεγαλώνει όσο μεγαλώνει το Ν ,και πηγαίναι (έχει όριο) το άπειρο για Ν τείνον στο άπειρο.
Πρέπει όμως να θυμόμαστε ότι η τιμή log(2)N /2 δεν είναι μια "πραγματική" αναμενόμενη τιμή ,γιατί αυτή έχει μαθηματικό νόημα μόνο για Ν τείνει στο άπειρο (το οποίο όπως προείπαμε και όλοι κατανοούμε ΔΕΝ έχeι φυσική σημασία/εφαρμοσιμότητα!)
Αν κάποιος είναι ακόμη ανικανοποίητος :-) και ρωτήσει φυσιολογικά:"Και τι γίνεται άμα παίξω ακριβώς Ν παιχνίδια ΜΟΝΟ; Δεν πρόκειται να παίξω άλλο παιχνίδι ποτέ! Πόσα αναμένω να κερδίσω τότε;" η σωστή απάντηση πρέπει να είναι ότι η ερώτηση δεν έχει νόημα!
Δεν είναι δυνατόν να ορισθεί πόσα αναμένεται να κερδίσει κάποιος, αν δεν είναι διατεθειμένος να εκτελέσει και να υπολογίσει το μέσο όρο σε έναν αυθαιρέτως ΜΕΓΑΛΟ αριθμό πειραμάτων!
Eίναι προφανές (αλλά το δηλώνω προς αποφυγή κάθε παρεξήγησης)ότι όταν πόσταρα το προηγούμενο σχόλιό μου,δεν είχε δημοσιευτεί ακόμη το σχόλιο του swt.
ΑπάντησηΔιαγραφή3 λοιπόν οι εκλεκτοί φίλοι με σωστές παρατηρήσεις! :-)
YΓ. Ντονάλτιε, μερσί! Το έχω υπ'όψι το κείμενο του Ιωαννίδη.
swt, oμολογώ ότι δεν είχα υπόψι μου την παλιά και πολύ ωραία ανάρτηση του Σωκράτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜάλιστα σαν "παράδοξο της Αγ.Πετρούπολης" είχα κάτι άλλο στο μυαλό μου (μια παρανόηση με πιθανότητα τύπου Bayes), λανθασμένα όπως φαίνεται. Ευχαριστώ!