Παράδοξο του Απειροστικού Λογισμού: Το χωνί που δεν μπορεί να βαφεί!

"Τίποτε δεν συμβαίνει στον Κόσμο, του οποίου το νόημα δεν περιορίζεται από κάποιο μέγιστο ή ελάχιστο."

Leonhard Euler

Ας πάρουμε την καμπύλη $y=\frac{1}{x}$, από $x=1$ έως $x$=άπειρο.

Αν περιστρέψουμε αυτήν την καμπύλη γύρω από τον άξονα $x$, παίρνουμε μια επιφάνεια εκ περιστροφής σχήματος "Χωνιού". Ο όγκος $V$ αυτού του "χωνιού" είναι:

${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{\pi }{x^2}dx$ 

το οποίο ισούται με $\pi$. Ο όγκος λοιπόν είναι $\pi$, άρα πεπερασμένος. Η επιφάνεια $S$ όμως του χωνιού είναι:

${\int }_1^{\mathrm{\infty }}2\pi \frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{x}dx>{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{2\pi }{x}dx$ 

που είναι άπειρο. Φαίνεται λοιπόν, ότι ενώ μπορούμε να γεμίσουμε το χωνί με μπογιά (αφού ο όγκος του είναι πεπερασμένος) εντούτοις δεν μπορούμε να το βάψουμε! (αφού η επιφάνειά του είναι άπειρη).

Ποια είναι η λύση/εξήγηση σ'αυτό το "παράδοξο";