Leonhard Euler
Ας πάρουμε την καμπύλη $y=\frac{1}{x}$, από $x=1$ έως $x$=άπειρο.
Αν περιστρέψουμε αυτήν την καμπύλη γύρω από τον άξονα $x$, παίρνουμε μια επιφάνεια εκ περιστροφής σχήματος "Χωνιού". Ο όγκος $V$ αυτού του "χωνιού" είναι:
$\int_1^{\infty}\frac{π}{x^2}dx$
το οποίο ισούται με $π$. Ο όγκος λοιπόν είναι $π$, άρα πεπερασμένος. Η επιφάνεια $S$ όμως του χωνιού είναι:
$\int_1^{\infty}2π\frac{\sqrt{1+y'^2}}{x}dx>\int_1^{\infty}{\frac{2π}{x}}dx$
που είναι άπειρο. Φαίνεται λοιπόν, ότι ενώ μπορούμε να γεμίσουμε το χωνί με μπογιά (αφού ο όγκος του είναι πεπερασμένος) εντούτοις δεν μπορούμε να το βάψουμε! (αφού η επιφάνειά του είναι άπειρη).
Ποια είναι η λύση/εξήγηση σ'αυτό το "παράδοξο";
Αν σχεδιάζαμε ένα πολύ μικρό "ο", πρακτικά δεν θα είχε εσωτερικό, αλλά θα εξακολουθούσε να χρειάζεται μελάνι για να σχεδιαστεί.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕίναι αλήθεια ότι ο όγκος V είναι πεπερασμένος κι ότι μπορούμε να τον γεμίσουμε με μπογιά. Αλλά παρότι η επιφάνεια είναι όντως άπειρη ,ΜΠΟΡΟΥΜΕ να τη βάψουμε!
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο φαινομενικό παράδοξο προκύπτει απο το γεγονός ότι κατ’ουσίαν επιχειρούμε να συγκρίνουμε μήλα και πορτοκάλια. Και ξέρουμε από τα παιδικάτα μας ότι μήλα και πορτοκάλια δεν προσθαφαιρούνται και δεν συγκρίνονται.
Μ’αλλα λόγια, το «πρόβλημα» προκύπτει γιατί συγκρίνουμε αντικείμενα με διάσταση 2 (επιφάνεια) με άλλα με διάσταση 3 (όγκο). Είναι κάπως ανάλογο με αρκετά άλλα «παράδοξα» ,που ξέρουμε όμως ότι δεν είναι πραγματικά παράδοξα στα πλαίσια της βαθιάς κατανόησης που μας έχει προσφέρει ο διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός.
Ήδη ο μέγιστος Αρχιμήδης είχε συνηδητοποιήσει και αποδείξει (γεωμετρικά) ότι μια απειροσειρά μπορεί να συγκλίνει σε πεπερασμενο όριο. Ή ,ας πούμε, μια πολύ γνωστή μορφοκλασματική δομή , η fractal καμπύλη του Κοχ, (που παράγει το γνωστό σχήμα «χιονονιφάδας»,ξεκινώντας από ένα ισόπλευρο τρίγωνο) που έχει περίμετρο καμπύλης που τείνει στο άπειρο,αλλά εμβαδόν πεπερασμένο.
Στην περίπτωση που εξετάζουμε, όταν κάποιος πει
«Το χωνί δεν μπορεί να βαφεί!» ουσιαστικά λέει ότι θα χρειαζόταν ένας άπειρος ΟΓΚΟΣ μπογιάς για να το καλύψουμε.
Αλλά το γεγονός ότι το εμβαδό της επιφάνειας είναι άπειρο ΔΕΝ συνεπάγεται ότι απαιτείται άπειρος όγκος μπογιάς!
Συγκεκριμένα, αν προσπαθήσουμε να βάψουμε το χωνί με ένα ΔΕΔΟΜΕΝΟ/ΣΤΑΘΕΡΟ πάχος μπογιάς , τότε πραγματικά θα χρειαζόμασταν άπειρο όγκο μπογιάς. Φανταστείτε ότι το χωνί εμπεριέχεται , για μεγάλες τιμές του x,σε έναν κυλινδρικό σωλήνα από μπογιά. Αυτός ο σωλήνας σταθερής ακτίνας βάσης! (π.χ =1) θα είχε όντως άπειρο όγκο,αλλά το χωνί θα καταλάμβανε (όπως αποδεικνύει το σχετικό ολοκλήρωμα που αναφέραμε) ένα μικρό-μικρό τμήμα του στο κέντρο του κυλίνδρου, ίσο με π.
Τι γίνεται όμως αν βάψουμε το χωνί με ένα ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ/ΜΕΙΟΥΜΕΝΟ πάχος μπογιάς, καθώς το x τείνει στο άπειρο;
Για παράδειγμα , αν το πάχος ακολουθεί την συνάρτηση /μεταβολή : 1/x , TOTE o απαιτούμενος όγκος μπογιάς είναι :
Ολοκλήρωμα(από 1 έως άπειρο) (1/x^2)dx το οποίο είναι ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ. Μ’αυτόν τον τρόπο ΜΠΟΡΟΥΜΕ πραγματικά να βάψουμε το χωνί .
Εν κατακλείδι, η μπογιά αγοράζεται (όπως όλοι ξέρουμε) με το λίτρο (ή καταχρηστικά με το κιλό) και ΟΧΙ με το τετραγωνικό! Και 1 λίτρο μπογιάς μπορεί όντως να καλύψει μια «άπειρη» επιφάνεια , αρκεί να κάνουμε το πάχος της επίστρωσής της ΟΡΙΑΚΑ μηδενικό ,με γρήγορο ρυθμό.