Λόγος Γινομένων

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ AB\Gamma }$ εγγεγραμμένο σε κύκλο, $\displaystyle{ O }$ τυχαίο σημείο του κύκλου και $\displaystyle{ \varepsilon _1 ,\,\varepsilon _2 ,\,\varepsilon _3 }$ εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία $\displaystyle{ A,B,\Gamma }$. Αν $\displaystyle{ K,\,M,\,N }$ οι προβολές του $\displaystyle{ O }$ στις $\displaystyle{ AB,A\Gamma ,B\Gamma }$ αντίστοιχα και $\displaystyle{ \Theta ,\,Z,\,H }$ οι προβολές του $\displaystyle{ O }$ στις $\displaystyle{ \varepsilon _1 ,\,\varepsilon _2 ,\,\varepsilon _3 }$, να βρεθεί ο λόγος 

$\displaystyle{ \frac{{OK \cdot OM \cdot ON}}{{O\Theta \cdot OZ \cdot OH}} }$. 

Λύση 

Από τα εγγράψιμα $AQOM,CHOM$, συνάγεται η ομοιότητα των τριγώνων $QOM, MOH$ και από τους λόγους εν τέλει η σχέση: $OM^2=OQ\cdot OH$. Όμοια παίρνουμε: $OK^2=OQ\cdot OZ$ και $ON^2=OZ\cdot OH$. Με πολλαπλασιασμό, έχουμε: $OK^2\cdot OM^2\cdot ON^2=OQ^2\cdot OH^2\cdot OZ^2$, δηλαδή: $\displaystyle \frac{OK\cdot OM \cdot ON}{OQ \cdot OH \cdot OZ}=1$.

Πηγή: mathematica