Λόγος Γινομένων

Έστω τρίγωνο ${\displaystyle AB\mathrm{\Gamma }}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο, ${\displaystyle O}$ τυχαίο σημείο του κύκλου και ${\displaystyle {\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3}$ εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία ${\displaystyle A,B,\mathrm{\Gamma }}$. Αν ${\displaystyle K,M,N}$ οι προβολές του ${\displaystyle O}$ στις ${\displaystyle AB,A\mathrm{\Gamma },B\mathrm{\Gamma }}$ αντίστοιχα και ${\displaystyle \mathrm{\Theta },Z,H}$ οι προβολές του ${\displaystyle O}$ στις ${\displaystyle {\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3}$, να βρεθεί ο λόγος 

${\displaystyle \frac{OK\cdot OM\cdot ON}{O\mathrm{\Theta }\cdot OZ\cdot OH}}$. 

Λύση 

Από τα εγγράψιμα $AQOM,CHOM$, συνάγεται η ομοιότητα των τριγώνων $QOM,MOH$ και από τους λόγους εν τέλει η σχέση: $O{M}^2=OQ\cdot OH$. Όμοια παίρνουμε: $O{K}^2=OQ\cdot OZ$ και $O{N}^2=OZ\cdot OH$. Με πολλαπλασιασμό, έχουμε: $O{K}^2\cdot O{M}^2\cdot O{N}^2=O{Q}^2\cdot O{H}^2\cdot O{Z}^2$, δηλαδή: ${\displaystyle \frac{OK\cdot OM\cdot ON}{OQ\cdot OH\cdot OZ}=1}$.

Πηγή: mathematica