John E. Littlewood
Δίνονται 9999 ράβδοι με μήκη: 1, 2,…,9998, 9999.
Δύο παίκτες, οι πλέον γνωστοί και μη εξαιρετέοι Γιώργος και Σωκράτης, αφαιρούν εναλλάξ από μία ράβδο. Πρώτος ξεκινάει ο πιο όμορφος, δηλαδή ο Γιώργος. Το παιχνίδι τελειώνει όταν μείνουνε οι 3 τελευταίες ράβδοι. Αν αυτές οι 3 ράβδοι μπορούν να σχηματίσουν τρίγωνο, νικητής είναι ο Γιώργος. Αν όχι, νικητής είναι ο Σωκράτης. Ποιος από τους δύο παίκτες μπορεί να εξασφαλίσει τη νίκη; και με ποια στρατηγική;
Εφόσον ο γρίφος αναφέρεται σε σχηματισμό τριγώνου με τις τρεις τελευταίες ράβδούς εικάζω ότι η στρατηγική που πρέπει ν' ακολουθήσει ο ένας από τους δύο είναι να βρει ποιες ράβδοι σχηματίζουν Πυθαγόρειες Τριάδες, ώστε στο τέλος οι τρεις ράβδοι που θα μείνουν να σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.
ΑπάντησηΔιαγραφή@papaveri:Τρίγωνο(γενικά), λέει η εκφώνηση. Όχι απαραίτητα ορθογώνιο τρίγωνο .
ΑπάντησηΔιαγραφήΕννοείται ,αλλά το προσθέτω διά το τυπικό της υποθέσεως,ότι μιλούμε για μή εκφυλισμένο τρίγωνο.
ΑπάντησηΔιαγραφή@RIZOPOULOS GEORGIOS
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο έθεσα έτσι, λόγω του ότι στα μεγέθη που αναφέρεις υπάρχουν και Πυθαγόρειες Τριάδες. Τότε έπρεπε να διευκρινισθεί με τη φράση: "οποιδήποτε τρίγωνο", ώστε να μη θεωρειθεί μόνο το ορθογώνειο. Ίσως την ίδια σκεψη να κάνουν καο άλλοι λύτες. Ή κάνω λάθος;
Ο νικητής μάλλον είναι ο Σωκράτης που παίζει 2ος
ΑπάντησηΔιαγραφήΓενικά οι αριθμοί που θα μείνουν έστω α,β,γ(με γ μεγαλύτερο) πρέπει να υπακούουν στην νόμο της τριγωνικής ανισότητας για να σχηματίζουν τρίγωνο δηλαδή
αγ για να σχηματίζεται τρίγωνο
Ο λόγος που ο Σωκράτης νικά είναι το γεγονός ότι ο Γιώργος (που θέλει τρίγωνο για νίκη) πρέπει οπωσδήποτε να αφαιρέσει τον αριθμό 1 γιατί σαν α(καθότι ο μικρότερος) δεν υπακούει στην α+β>γ σε καμία περίπτωση.Στην καλύτερη 1+9998=9999(και όχι >)
Άρα σαν πρώτη κίνηση πρέπει οπωσδήποτε να τον αφαιρέσει
άρα μένουν 2,3,4,5,....9999
Σκοπός του Σωκράτη αφαιρώντας κάποια ράβδο είναι να φέρει σε παρόμοια με την αρχική κατάταξη τη διάταξη έτσι ώστε να υπάρχει εξαναγκασμένη κίνηση του Γιώργου(όπως με τον 1 αρχικά)
Αυτό γίνεται αφαιρώντας τον 9998 και πλέον ο προβληματικός αριθμός είναι ο 2 αφού στην καλύτερη 2+9997=9999 άρα στην επόμενη κίνηση ο Γιώργος τον αφαιρεί(ή εναλλακτικά αφαιρεί τον 9999) εν συνεχεία ο Σωκράτης αφαιρεί τον 9997(ή τον 9996 αν ο γιώργος αφαίρεσε τον 9999) , μετά ο Γιώργος τον 3 κ.ο.κ
ώσπου φτάνουμε στην τελευταία διάταξη ( π.χ. έχουν απομείνει 4 αριθμοί οι ,4999,5000,5001,9999) με τον Σωκράτη να αφαιρεί τον 3ο σε σειρά (πάντα αυτό συμβαίνει) και να έχουμε αδυναμία δημιουργίας τριγώνου αφού 5000+4999=9999
Σαν γενίκευση θα μπορούσαμε να πούμε ότι η τακτική του Σωκράτη είναι να αφαιρεί πάντα τον 2ο μεγαλύτερο αριθμό σε κάθε διάταξη που καλείται να παίξει έτσι ώστε ο Γιώργος να αποκτά πάντα τον μικρότερο αριθμό της δικής του διάταξης με την ιδιότητα ότι δεν μπορεί να σχηματίσει καμία πυθαγόρεια 3-άδα(προβληματικός)
Αυτό μπορεί να το δει κάποιος με μια απλούστερη διάταξη εώς το 9(πάλι περιττό πλήθος φυσικά)
1,2,3,4,5,6,7,8,9
Γ:Aφαιρεί το 1(δεν σχηματίζει καμία δυνατότητα με άλλους 2 για τρίγωνο)
Σ:Το 8 (προβληματικός είναι ο 2 τώρα)
Γ: Το 9( ο 2 δεν είναι πλέον προβληματικός)
Σ:Το 6(ξανακάνει τον 2 προβληματικό) κ.ο.κ
άρα ο Σωκράτης μπορεί πάντα στην κάθε κινησή του να αφήνει έναν αριθμό(τον μικρότερο) που δεν σχηματίζει τρίγωνο με άλλους 2 άρα και στην τελευταία του κίνηση ο μικρότερος από τους 3 έχει άθροισμα με τον β στην καλύτερη =γ
Για την ακρίβεια ο Σωκράτης πάντα θα μπορεί να δημιουργεί μια τριάδα(ανάμεσα στους υπόλοιπους αριθμούς) με τον μικρότερο , τον μεγαλύτερο και το 2ο μεγαλύτερο αριθμό έτσι ώστε 2ος μεγαλύτερος+μικρότερος=μεγαλύτερος (στην καλύτερη για τον Γιώργο) άρα όχι τρίγωνο
ΑπάντησηΔιαγραφήΆρα στην τελευταία του κίνηση αφήνει 3-άδα με α+β=γ και ο Γιώργος χάνει
Την νίκη την εξασφαλίζει ο Σωκράτης που είναι και γοητευτικός και έξυπνος με την παρακάτω στρατηγική.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑφαιρεί κάθε φορά μεσαία ράβδο τέτοια που να απομένουν ν+1 ράβδοι με μικρότερο μήκος από αυτήν που αφαίρεσε και ν ράβδοι με μεγαλύτερο μήκος.
Έτσι λίγο πριν το τέλος θα μείνουν 5 ράβδοι,
3 μικρότερου μήκους και 2 μεγαλύτερου μήκους και η μικρότερη από τις μεγάλες θα διαφέρει από την μεγαλύτερη από τις μικρές τουλάχιστον κατά 497 διαδοχικά μήκη, 497 στην περίπτωση
που ο Γιώργος δεν αφαιρέσει καμμία από τις μεσαίες ράβδους, αν δε αφαιρέσει α μεσαίες 497+α
διαδοχικά μήκη.
Ο Γιώργος είτε θα αφαιρέσει μία από τις 2 μεγάλες και ο Σωκράτης την μεγαλύτερη από τις 3 μικρές και τρίγωνο δεν γίνεται, είτε θα αφαιρέσει μία, την μικρότερη, από τις 3 μικρές και ο Σωκράτης θα αφαιρέσει την μικρότερη από τις 2 μεγάλες και πάλι τρίγωνο δεν γίνεται.
Στην καλύτερη περίπτωση ο Γιώργος αφαιρώντας μόνο μικρές μήκους 1,2,3,... και καμία μεσαία και ο Σωκράτης την στρατηγική του θα απομείνουν με τις 498,
499, 998,999 και φυσικά ο Σωκράτης θα αφαιρέσει την 998 και ο Γιώργος θα μείνει με εκφυλισμένο τρίγωνο 499, 500, 999.
Nα υπενθυμίσω ότι η βασική ανισοτική σχέση ,που ισχύει σε όλα τα τρίγωνα, είναι ότι το άθροισμα δύο οποιωνδήποτε πλευρών του είναι μεγαλύτερο (ίσον, αν είναι εκφυλισμένο)από την τρίτη πλευρά. Πανάρχαια ευκλείδεια αρχή (η συντομοτέρα οδός..κλπ) :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΥΓ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΛΑΘΟΥΣ ΠΑΡΑΔΡΟΜΗΣ
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπειδή έλαβα σαν δεδομένο μήκη 1,2,..998,999
αντί των 1,2,...
διορθώνω τα μεγέθη
497 και 497+α σε 4997 και 4997+α αντίστοιχα
και το εκφυλισμένο τρίγωνο
499,500,999 σε 4999,5000,9999
Η στρατηγική παραμένει η ίδια και για οποιονδήποτε
αριθμό ράβδων μήκους 1,2,3,...,α(n-1), αn
αρκεί το αn να είναι περιττός για να μπορεί να απομένουν ν+1 ράβδοι με μικρότερα μήκη από το μήκος που αφαιρεί κάθε φορά ο 2ος παίχτης και ν ράβδοι με μεγαλύτερα μεγαλύτερα.
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπίσης διόρθωση
ΑπάντησηΔιαγραφή"ο Γιώργος να αποκτά πάντα τον μικρότερο αριθμό της δικής του διάταξης με την ιδιότητα ότι δεν μπορεί να σχηματίσει καμία πυθαγόρεια 3-άδα(προβληματικός)"
Το παραπάνω δεν είναι σωστό το σωστό είναι
"ο Γιώργος να αποκτά πάντα τον μικρότερο αριθμό της δικής του διάταξης με την ιδιότητα ότι δεν μπορεί να σχηματίσει 3-άδα τριγώνου με τον μεγαλύτερο εκείνη τη στιγμή και το τρίγωνο που προκύπτει είναι στην καλύτερη εκφυλισμένο(προβληματικός)"
ΠΡΟΣΘΗΚΗ(για κάποιο λόγο μου "φαγώθηκε" η 1η ανάρτηση)
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ νικητής μάλλον είναι ο Σωκράτης που παίζει 2ος
Γενικά οι αριθμοί που θα μείνουν έστω α,β,γ(με γ μεγαλύτερο) πρέπει να υπακούουν στην νόμο της τριγωνικής ανισότητας για να σχηματίζουν τρίγωνο δηλαδή
αβ>α
Τα 2 πρώτα ισχύπυν προφανώς αφού έχουμε διαδοχικούς αριθμούς .Άρα πρέπει να ισχύει το τελευταίο οπωσδήποτε για να νικά ο Γιώργος.Αν α=β+γ τότε το τρίγωνο είναι εκφυλισμένο και χάνει
Η νικηφόρα στρατηγική του Σωκράτη για ν αριθμούς είναι να αφαιρεί πάντα τον ν-1(2ο μεγαλύτερο) σε καθε του διάταξη
O Σωκράτης όντως μπορεί να εξασφαλίσει τη νίκη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω a1, a2 και a3 οι 3 τελευταίες ράβδοι, με:
a1 < a2 < a3.
1η Aπόδειξη (και στρατηγική):
Πρέπει να αποδείξουμε ότι ο Σωκράτης μπορεί να εξαναγκάσει την σχέση για τις τρεις τελ. ράβδους:
a1 + a2 ≤ a3. (γιατί τότε, δεν σχηματίζεται τρίγωνο) Ως Μ, ορίζουμε το σύνολο των «μακριών» ράβδων, δηλαδή τις ράβδους, που είναι μακρύτερες από 5000
, και με K το σύνολο των «κοντών», δηλ. των ράβδων, που έχουν ΤΟ ΠΟΛΥ μήκος= 5000
Το σύνολο K λοιπόν περιέχει 5000 ράβδους, και το σύνολο Μ περιέχει 4999 ράβδους, και κάθε ράβδος περιέχεται σε ένα από τα δύο σύνολα.
Από τους κανόνες του παιχνιδιού προκύπτει ότι θα γίνουν συνολικά 9999 − 3 = 9996 τραβήγματα, δηλαδή ακριβώς
4998 «πλήρεις κινήσεις» ή «διπλοκινήσεις» (μια πλήρης κίνηση= τραβάει ο Γ και τραβάει ο Σ.) Μια δυνατή νικητήρια στρατηγική για τον Σωκράτη είναι:
«Όταν ο Γ. αφαιρεί μια ράβδο K , να απαντάει αφαιρώντας την κοντύτερη ράβδο που απομένει στο σύνολο Μ. Όταν ο Γ. αφαιρεί μια ράβδο από το Μ, να απαντάει αφαιρώντας την μακρύτερη ράβδο που απομένει στο K.»
Απομένει να δείξουμε ότι ο Σωκράτης μπορεί συνεχώς να ακολουθεί αυτή τη στρατηγική:
Με την πιο πάνω στρατηγική, μετά από κάθε «πλήρη κίνηση»
αφαιρείται από καθένα από τα 2 σύνολα μία ράβδος κάθε φορά, που σημαίνει ότι στο K παραμένουν συνεχώς
ακόμη τουλάχιστον 5000 − 4998 = 2 ράβδοι, και στο Μ τουλάχιστον 4999 − 4998 = 1 ράβδος.
Ο Σωκράτης κερδίζει πάντα μ’αυτή την στρατηγική επειδή: Αρχικά η διαφορά των μηκών της κοντύτερης ράβδου
Από το Μ και της μακρύτερης ράβδου από το K είναι= 1. Μετά από κάθε διπλοκίνηση αυξάνεται αυτή η διαφορά κατά τουλάχιστον 1.
Άρα μετά από 4998 κινήσεις, τουλάχιστον 4998 + 1 = 4999. Αρα ισχύει :
a2 + 4999 ≤ a3.
Aφού επιπροσθέτως a2 ≤ 5000 και a1 ≤ 4999, έπεται ότι:
a1 + a2 ≤ 4999 + a2 ≤ a3. Όπερ έδει δείξαι.
2η εναλλακτική απόδειξη(και στρατηγική)
θεωρούμε κάθε ράβδο ,έστω ρ ,με εξαίρεση την ράβδο a= 5000
Και την «παρτενέρ» της έστω ρ' ,βάσει της σχέσης: ρ και ρ' είναι παρτενέρ, όταν ισχύει:
|ρ − ρ' | = 5000. Προφανώς και το διατεταγμένο ζεύγος ρ' και ρ είναι επίσης παρτενέρ. Γενικεύοντας για κάθε ράβδο από το
Μ := {x | x > 5000} υπάρχει μία παρτενέρ από το Κ := {x | x < 5000} και αντιστρόφως; Και βέβαια στην αρχή του παιχνιδιού υπάρχει μία και μόνη ράβδος ξέμπαρκη (χωρίς παρτενέρ) ,η α = 5000.
Μια δυνατή νικητήρια στρατηγική για τον Σωκράτη είναι:
Όταν ο Γ. Αφαιρεί μια ράβδο, της οποίας η παρτενέρ είναι ακόμα διαθέσιμη , τότε βγάζει αυτήν ακριβώς την παρτενέρ.
Σε κάθε άλλη περίπτωση, ο Σ. πρέπει να βγάλει μια οποιαδήποτε ράβδο από το Μ.
Απομένει να δείξουμε ότι ο Σωκράτης μπορεί συνεχώς να ακολουθεί αυτή τη στρατηγική: Όπως θα αποδειχτεί πιο κάτω(*), ακολουθώντας τη στρατηγική αυτή με κάθε διπλοκίνηση συνεχώς αφαιρείται ακριβώς 1 ράβδος από το Μ.
Αφού 9999 − 3 = 9996 τραβήγματα, συμβαίνουν ακριβώς 4998 διπλοκινήσεις και απομένει στους παίκτες διαθέσιμη 1 ράβδος
από το Μ .
Όταν ο Γ. λοιπόν τραβάει μία ράβδο χωρίς παρτενέρ, μπορεί πάντα ο Σ. να τραβάει την απαιτούμενη ράβδο από το Κ , και όταν ο Γ. τραβάει μία ράβδο με παρτενέρ, ο Σ. τραβάει ακριβώς αυτή την παρτενέρ.
Μ’αυτή τη στρατηγική ο Σ. κερδίζει: Μετά από τις 4998 διπλοκινήσεις απομένουν μόνο οι ράβδοι
a1 < a2 < a3 . Σύμφωνα με τα προαναφερθέντα , είναι η a3 η μοναδική ράβδος από το Μ, και έχει μία παρτενέρ από το Κ, μήκους: a3 − 5000, η ράβδος χωρίς παρτενέρ έχει μήκος ΤΟ ΠΟΛΥ 5000.
Έτσι ισχύει: a1 + a2 ≤ a3 − 5000 + 5000 = a3.
Αυτό σημαίνει ότι η τριγωνική ανισότητα δεν πληρείτε και δεν μπορεί απ’αυτές τις 3 ράβδους να σχηματιστεί ένα μη εκφυλισμένο τρίγωνο.
(..συνέχεια)
ΑπάντησηΔιαγραφήΣημείωση:
Ο Σ. Εξασφαλίζει τη νίκη, όταν ο αριθμός των ράβδων είναι περιττός.
Ας αντικαταστήσουμε εν γένει (είτε στην 1. είτε στην 2. Απόδειξη) τον αριθμό 5000 με τον (n+1)/2. Αντιθέτως βέβαια, για άρτιο n o Γ. μπορεί να εξασφαλίζει τη νίκη, π.χ ακολουθώντας την τακτική: "Πάρε πάντα το κοντύτερο κομμάτι!".
Αφού θα κάνει (n−2)/2 κινήσεις, έχουν τα 2 κοντύτερα ραβδιά κατ’ελάχιστον τα μήκη
n/2 και n/2 +1; των οποίων το άθροισμα είναι: n + 1, άρα σίγουρα μεγαλύτερο από το μήκος της μακρύτερης ράβδου.
*) θα "κλέψω" λίγο, και θα παραλείψω την απόδειξη αυτή. Την αφήνω σαν "άσκηση επί χάρτου" για τους φίλους.. :-)