Δευτέρα 11 Μαρτίου 2013

▪ Πόσα ορθογώνια έχει μια μεγάλη σκακιέρα;

"Μπορείς να κάνεις πρόσθεση"; ρώτησε η Λευκή Βασίλισσα. "Πόσο κάνει ένα κι ένα κι ένα κι ένα κι ένα κι ένα κι ένα κι ένα κι ένα κι ένα;"
"Δεν ξέρω", είπε η Αλίκη. "Έχασα το μέτρημα".
Λιούις Κάρολ (Through the Looking-Glass)
Μια απλή ερώτηση:
Πόσα ορθογώνια (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν σε μια σκακιέρα ν επί μ;
Αναρτήθηκε από στις 11.3.13
Ετικέτες ,

12 σχόλια:

  1. swt12 Μαρτίου 2013 στις 10:20 π.μ.

    Σ(κ=1..ν)Σ(λ=1..μ)[(ν-κ+1)(μ-λ+1)] ;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. RIZOPOULOS GEORGIOS12 Μαρτίου 2013 στις 2:41 μ.μ.

    @ swt: Δεν μού είναι σαφές τι ακριβώς εννοείς.
    Aν ενοείς: Σ(κ=1..ν)Σ(λ=1..μ)= ν*μ
    και: [(ν-κ+1)(μ-λ+1)]= (n+1)*(m+1) ,δηλαδή αν το αποτέλεσμα είναι: ν*μ*(ν+1)*(μ+1)(?) η απάντηση είναι λάθος. (αλλά "κοντά" στη σωστή.. :-))

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. RIZOPOULOS GEORGIOS12 Μαρτίου 2013 στις 2:54 μ.μ.

    @swt: Aν εννοείς διπλό άθροισμα, δηλαδή
    (ν+1)(μ+1)+νμ+(ν-1)(μ-1)+...+1 ,λάθος (και "μακριά" από τη σωστή)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. swt12 Μαρτίου 2013 στις 4:58 μ.μ.

    @RIZOPOULOS GEORGIOSQ: Συμφωνούμε ότι το τετράγωνο είναι μια ειδική περίπτωση ορθογωνίου;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. RIZOPOULOS GEORGIOS12 Μαρτίου 2013 στις 6:14 μ.μ.

    @swt: Πώς μπορεί να μην συμφωνούμε σε κάτι τόσο θεμελιώδες;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. swt12 Μαρτίου 2013 στις 6:51 μ.μ.

    Έστω λοιπόν ν=4 ο αριθμός των στηλών και μ=3 ο αριθμός των γραμμών.
    Με αυτό που έγραψα στο αρχικό μήνυμα εννοώ πως θα υπάρχουν:
    Για κ=1, λ=1=>(ν-κ+1)*(μ-λ+1)=(4-1+1)*(3-1+1)=4*3=12 ορθωγώνια 1x1 (στήλες x γραμμές)
    Για κ=1,λ=2=>(ν-κ+1)*(μ-λ+1)=(4-1+1)*(3-2+1)=4*2=8 ορθωγώνια 1x2 (στήλες x γραμμές)
    Για κ=1,λ=3=>(ν-κ+1)*(μ-λ+1)=(4-1+1)*(3-3+1)=4*1=4 ορθωγώνια 1x3 (στήλες x γραμμές)
    Για κ=2, λ=1=>(ν-κ+1)*(μ-λ+1)=(4-2+1)*(3-1+1)=3*3=9 ορθωγώνια 2x1 (στήλες x γραμμές)
    Για κ=2,λ=2=>(ν-κ+1)*(μ-λ+1)=(4-2+1)*(3-2+1)=3*2=6 ορθωγώνια 2x2 (στήλες x γραμμές)
    Για κ=2,λ=3=>(ν-κ+1)*(μ-λ+1)=(4-2+1)*(3-3+1)=3*1=3 ορθωγώνια 2x3 (στήλες x γραμμές)
    Για κ=3, λ=1=>(ν-κ+1)*(μ-λ+1)=(4-3+1)*(3-1+1)=2*3=6 ορθωγώνια 3x1 (στήλες x γραμμές)
    Για κ=3,λ=2=>(ν-κ+1)*(μ-λ+1)=(4-3+1)*(3-2+1)=2*2=4 ορθωγώνια 3x2 (στήλες x γραμμές)
    Για κ=3,λ=3=>(ν-κ+1)*(μ-λ+1)=(4-3+1)*(3-3+1)=2*1=2 ορθωγώνια 3x3 (στήλες x γραμμές)
    Για κ=4, λ=1=>(ν-κ+1)*(μ-λ+1)=(4-4+1)*(3-1+1)=1*3=3 ορθωγώνια 4x1 (στήλες x γραμμές)
    Για κ=4,λ=2=>(ν-κ+1)*(μ-λ+1)=(4-4+1)*(3-2+1)=1*2=2 ορθωγώνια 4x2 (στήλες x γραμμές)
    Για κ=4,λ=3=>(ν-κ+1)*(μ-λ+1)=(4-4+1)*(3-3+1)=1*1=1 ορθωγώνιο 4x3 (στήλες x γραμμές)
    Σύνολο: (12+8+4)+(9+6+3)+(6+4+2)+(3+2+1)=60
    Τώρα βέβαια που έκατσα και έγραψα τα αθροίσματα καταλαβαίνω ότι υπάρχει απλούστερος τύπος, αλλά το διπλό άθροισμα δεν νομίζω πως ήταν λανθασμένο. Μάλλον θα ήταν προτιμότερο να είχα γράψει: ν(ν+1)μ(μ+1)/4 ;-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. swt12 Μαρτίου 2013 στις 6:54 μ.μ.

    Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. swt12 Μαρτίου 2013 στις 10:36 μ.μ.

    και βέβαια εννοώ ορθογώνια κι όχι ορθωγώνια. Απορώ πώς μου προέκυψε.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. RIZOPOULOS GEORGIOS13 Μαρτίου 2013 στις 9:12 π.μ.

    "Μάλλον θα ήταν προτιμότερο να είχα γράψει: ν(ν+1)μ(μ+1)/4 ;-)"
    Ε ναι, ευλογημένε swt! Θα ήταν προτιμότερο.. :-)
    Πολύ σωστά! Συγχαρητήρια!:-)

    Ένας εναλλακτικός και κάπως "οικονομικότερος" τρόπος σκέψης είναι ο εξής:
    Σε μια σκακιέρα v x μ υπάρχουν (ν+1)*(μ+1) κορυφές. Ένα οποιοδήποτε/τυχαίο ορθωγώνιο μπορεί να οριστεί από 2 κορυφές που ΔΕΝ βρίσκονται στην ίδια γραμμή Ή στήλη. Για την πρώτη κορυφή λοιπόν έχουμε (μ+1)(ν+1)επιλογές. Για την δεύτερη έχουμε μ*ν. Άρα
    (μ+1)*(ν+1)*μ*ν το σύνολο των δυνατών ορθογωνίων. Αλλά κάθε τυχαίο ορθογώνιο ,έστω ΑΒΓΔ, μ'αυτόν τον τρόπο μετριέται 4 φορές.
    [(A,Γ), (Γ,A), (B,Δ), (Δ,B)](το ίδιο ορθογώνιο 4 φορές!) Άρα :(μ+1)*(ν+1)*μ*ν/4 το σωστό.


    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. swt13 Μαρτίου 2013 στις 9:40 π.μ.

    Χάθηκε ένα προηγούμενο μήνυμά μου, όπου σχεδόν με φρίκη διαπίστωνα ότι έπρεπε να είχα γράψει ορθογώνια κι όχι ορθωγώνια. Ζητώ ταπεινά συγνώμη από τα μάτια σας. Ελπίζω να μην κινδύνευσαν...
    Παρεμπιπτόντως, είναι μήπως δυνατό να τροποποιούμε προηγούμενα μηνύματα;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. Σωκράτης Δ. Ρωμανίδης13 Μαρτίου 2013 στις 3:45 μ.μ.

    @swt
    Θα δω αν μπορώ να κάνω κάτι ...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ20 Αυγούστου 2013 στις 3:12 μ.μ.

    Θεωρούμε ότι η σκακιέρα σχηματίζεται από (ν+1) παράλληλες ευθείες και (μ+1) παράλληλες, κάθετες στις (ν+1). Τα ορθογώνια σχηματίζονται 2 από τις (ν+1) και 2 από τις (μ+1). Σύνολο ορθογωνίων=
    C(n+1,2)*C(μ+1,2)=(ν+1)!/2!*(ν-1) *(μ+1)!/2!*(μ-1)!=
    =ν*(ν+1)*μ*((μ+1)/4

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)