▪ Ανισότητες - 232η - ... - 239η

232. Έστω $a,b,c$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $ab+bc+ca=3$. Να αποδειχθεί ότι

$\sqrt{a^2+b^2+7bc}+\sqrt{b^2+c^2+7ca}+$

$+\sqrt{c^2+a^2+7ab}\ge 9$

Vasc

233. Έστω $a,b,c$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $ab+bc+ca=3$. Να αποδειχθεί ότι

$\sqrt{a^2+b^2+5ab}+\sqrt{b^2+c^2+5bc}+$

$+\sqrt{c^2+a^2+5ca}\ge 3\sqrt{7}$.

Nguyen Van Quy

234. Έστω $a,b,c$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $a+b+c=3$. Να αποδειχθεί ότι

$a^2+b^2+c^2\ge \frac{a+2}{b+2}+\frac{b+2}{c+2}+\frac{c+2}{a+2}$.

Nguyễn Quốc Anh- Emil Iorga

235. Έστω $a,b,c$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $a+b+c=3$. Να αποδειχθεί ότι

$\sqrt{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[4]{c+a}\ge \sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{3}$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

236. Έστω $a,b,c$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $a+b+c=3$. Να αποδειχθεί ότι

$\sqrt{a+4bc}+\sqrt{b+4ca}+\sqrt{c+4ab}\ge 4\sqrt{ab+bc+ca}$.

237. Έστω $a,b,c$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $a+b+c=3$. Να αποδειχθεί ότι

$\sqrt{a^2+a}+\sqrt{b^2+b}+\sqrt{c^2+c}\ge 2\sqrt{3}$.

Nguyễn Quốc Anh

238. Έστω $a,b,c$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $a+b+c=3$. Να αποδειχθεί ότι

$\sqrt{a^2+b}+\sqrt{b^2+c}+\sqrt{c^2+a}\ge \sqrt{a^2+a}+$

$+\sqrt{b^2+b}+\sqrt{c^2+c}$.

Nguyễn Quốc Anh

239. Έστω $a,b,c$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $a+b+c=1$. Να αποδειχθεί ότι

$\sqrt{\frac{a+b}{a+1}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+1}}+\sqrt{\frac{c+a}{c+1}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}}+1$.

Πηγή: artofproblemsolving

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com