▪ Η Άσκηση του Μήνα - Μάρτιος 2013

 Του Νίκου Ζανταρίδη                                                            

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\to R$ ισχύει:

${\int }_{1-f(1-x)}^{f^{\prime }(x)-f(x)}(f^2(t)-f(t))dt+f^{\prime }(x)+f(1-x)=1+f(x)$

για κάθε $x\in R$ και $f(0)=1$.

1) Να δείξετε ότι: 

α) $f^{\prime }(x)=1+f(x)-f(1-x)$, για κάθε $x\in R$

β) $f(x)=x^2+1$, $x\in R$

2)  Να δείξετε ότι το σημείο της $C_f$ που απέχει την μικρότερη απόσταση από το σημείο ${\rm A}(5,0)$ είναι το ${{\rm M}}_0(1,2)$.

3) α) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται από την $C_f$, τον άξονα $x^{\prime }x$, τον άξονα $y^{\prime }y$ και το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm A}{{\rm M}}_0$.

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο ${{\rm M}}_0$ και χωρίζει το χωρίο $\Omega$ σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

4) Να δείξετε ότι

${\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{1}{ln(f(x))}dx>\frac{\beta -\alpha }{\alpha \beta }$,   $0<\alpha <\beta$.

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Κάντε κλικ εδώ, για να το εκτυπώσετε και εδώ για να δείτε τις λύσεις από τον συνάδελφο Χρήστο Σίσκα.