▪ Η Άσκηση του Μήνα - Μάρτιος 2013

 Του Νίκου Ζανταρίδη                                                            

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow{R}$ ισχύει:

$\int_{1-f(1-x)}^{f'(x)-f(x)}(f^2(t)-f(t))dt+f'(x)+f(1-x)=1+f(x)$

για κάθε $x\in{R}$ και $f(0)=1$.

1) Να δείξετε ότι: 

α) $f'(x)=1+f(x)-f(1-x)$, για κάθε $x\in{R}$

β) $f(x)=x^2+1$, $x\in{R}$

2)  Να δείξετε ότι το σημείο της $C_f$ που απέχει την μικρότερη απόσταση από το σημείο $Α(5,0)$ είναι το $Μ_{0}( 1,2)$.

3) α) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου $Ω$ που περικλείεται από την $C_f$, τον άξονα $x'x$, τον άξονα $y'y$ και το ευθύγραμμο τμήμα $ΑΜ_0$.

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο $Μ_0$ και χωρίζει το χωρίο $Ω$ σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

4) Να δείξετε ότι

$\int_α^β\frac{1}{ln(f(x))}dx>\frac{β-α}{αβ}$,   $0<α<β$.

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Κάντε κλικ εδώ, για να το εκτυπώσετε και εδώ για να δείτε τις λύσεις από τον συνάδελφο Χρήστο Σίσκα.