Τετάρτη 6 Φεβρουαρίου 2013

▪ $(x,y,p)=?$

Έστω $x,y$ ακέραιοι αριθμοί και $p$ πρώτος αριθμός. Αν 
$x^2-3xy+p^2y^2=12p$
να βρεθούν όλες οι τριάδες $(x,y,p)$.
Turkey Junior National Olympiad 2012
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 6.2.13
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS6 Φεβρουαρίου 2013 στις 5:04 μ.μ.

    H διοφαντική εξίσωση της γενικής μορφής
    Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 χαρακτηρίζεται από τη διακρίνουσα ποσότητα
    Β^2 – 4ΑC . Στην περίπτωσή μας Β2-4ΑC = 9-4*p^2 <0
    To ότι η διακρίνουσα είναι αρνητική σημαίνει ότι είμαστε στην ελλειπτική περίπτωση ,αρα όπως μια έλλειψη είναι πεπερασμένη και οι λύσεις αν υπάρχουν είναι πεπερασμένες.
    Γενικά αποδεικνύεται ότι οι τιμές του x θα πρέπει να είναι μεταξύ των (πραγματικών) ριζών της :(B2 - 4AC)x2 + 2(BE - 2CD)x + (E2 - 4CF) = 0
    Oι τιμές αυτές του x ελέγχονται ακολούθως ως προς το αν δίνουν ακέραιες τιμές του y στην εξίσωση:
    y= (-(Bx + E) ± sqrt[(Bx + E)2 - 4C(Ax2 + Dx + F)]/ 2C
    Aυτός είναι (ένας) γενικός τρόπος λύσης.
    Στην περίπτωσή μας η ελλειπτική μορφή της εξίσωσης γίνεται άμεσα προφανής από τη μορφή που την φέρνουμε εύκολα: (2x-3y^2) + (4p^2 -9)y^2 = 48p
    Mε διερέυνηση για τις πραγματικές δυνατές λύσεις οδηγούμαστε στην ανισότητα
    (2p-3)^2 <25 που σημαίνει p<4
    Άρα p=2 ή 3
    Για p=2 η εξίσωση γίνεται: x^2 - 3 xy + 4 y^2 - 24 = 0
    H εξίσωση δεν έχει λύσεις modulo 9, άρα δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις.
    Για p=3 η εξίσωση γίνεται: x^2 - 3 xy + 9 y^2 - 36 = 0
    Υπάρχουν λύσεις mod 9 , mod 16 και mod 25 ,άρα προχωράμε.
    Μετατρέπουμε στη μορφή:
    x´2 + B y2 + C y + D = 0
    Πολ/ζουμε με 4:
    4 x2 - 12 xy + 36 y2 - 144 = 0
    4 x2 + ( - 12 y)x + ( 36 y2 - 144) = 0
    Προσθέτουμε και αφαιρούμε:
    ( - 3 y)2
    Κι έχουμε:
    ( 2 x - 3 y)2 + ( 36 y2 - 144) - ( 9 y2) = 0
    ( 2 x - 3 y)2 + ( 27 y2 - 144) = 0
    Κάνουμε την αντικατάσταση:
    x´ = 2 x - 3 y
    Εχουμε:
    x´2 + 27 y2 - 144 = 0
    Μια και το x´2 είναι μεγαλυτερο ή ίσο με 0,
    το 27 y2 - 144 πρέπει να είναι μικρ. Ή ίσο από 0.
    Οι ρίζες είναι: (-0 - sqrt(02 - 4 * 27 * (-144))) / (2 * 27) = -2.309401076758503
    και: (-0 + sqrt(02 - 4 * 27 * (-144))) / (2 * 27) = 2.309401076758503
    Όλες οι τιμές του y από -2 έως 2 πρέπει να αντικατασταθούν στην
    27 y2 - 144. Το αποτέλεσμα πρέπει να είναι ένα αρνητικό τέλειο τετράγωνο.
    Οι τιμές του y είναι: -2, 0, 2
    y = -2
    x´ = 2 x - 3 y = ±sqrt(36) = ±6
    o 2 x - 3 y = 6
    2 x - 3 (-2) = 6
    2x = 0
    x = 0
    • Χ=0 Υ=-2

    o 2 x - 3 y = -6
    2 x - 3 (-2) = -6
    2x = -12
    x = -6
    Και επίσης:
    x = -6
    y = -2
    y = 0
    x´ = 2 x - 3 y = ±sqrt(144) = ±12
    o 2 x - 3 y = 12
    2 x - 3 0 = 12
    2x = 12
    x = 6
    και:
    x = 6
    y = 0
    o 2 x - 3 y = -12
    2 x - 3 0 = -12
    2x = -12
    x = -6
    και:
    x = -6
    y = 0
    y = 2
    x´ = 2 x - 3 y = ±sqrt(36) = ±6
    o 2 x - 3 y = 6
    2 x - 3 2 = 6
    2x = 12
    x = 6
    και:
    x = 6
    y = 2
    o 2 x - 3 y = -6
    2 x - 3 2 = -6
    2x = 0
    x = 0
    Και τέλος:
    x = 0
    y = 2


    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)