Αποστολή μας είναι να διαπιστώσουμε την αντοχή ενός νέου σούπερ-ανθεκτικού τηλεφώνου.
Έχουμε 2 τηλέφωνα και έναν ουρανοξύστη 100 ορόφων από τον οποίο μπορούμε να ρίχνουμε το τηλέφωνο, από όποιον όροφο θέλουμε.
Το ζητούμενο είναι ποιο είναι το μεγαλύτερο ύψος (εκφρασμένο σε αριθμό ορόφων) από το οποίο το τηλέφωνο δεν σπάει π.χ μέχρι τον 30ο όροφο δεν σπάει, αν το ρίξουμε από τον 31ο, σπάει.
Αν σπάσουν και τα 2 τηλ. που έχουμε, πριν διαπιστώσουμε τον όροφο "αντοχής", αποτύχαμε.
Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ρίψεων με τον οποίο προσδιορίζουμε σίγουρα το ύψος,και με ποια ακριβώς ακολουθία ρίψεων τον πετυχαίνουμε;
ΠΑΡΑΔΟΧΗ: To τηλέφωνο μπορεί να ριχτεί όσες φορές θέλουμε όσο δεν σπάει, χωρίς να εξασθενεί.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Αρκούν 14 ρίψεις, το πολύ. Αρχικά ρίχνουμε το πρώτο τηλ. από τον 14ο όροφο. Αν σπάσει μπορούμε με το δεύτερο τηλ. να προσδιορίσουμε τον όροφο σε ακόμη 13 το πολύ προσπάθειες ,ξεκινώντας από τον 1ο και ανεβαίνοντας έναν όροφο τη φορά.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Αρκούν 14 ρίψεις, το πολύ. Αρχικά ρίχνουμε το πρώτο τηλ. από τον 14ο όροφο. Αν σπάσει μπορούμε με το δεύτερο τηλ. να προσδιορίσουμε τον όροφο σε ακόμη 13 το πολύ προσπάθειες ,ξεκινώντας από τον 1ο και ανεβαίνοντας έναν όροφο τη φορά.
Αν το πρώτο τηλέφωνο δεν σπάσει στην πτώση από τον 14, το ξαναρίχνουμε από τον 27ο (14+13=27).Αν σπάσει ,προσδιορίζουμε τον ενδιάμεσο όροφο με άλλες 12 το πολύ ακόμη ρίψεις.
Αν δεν σπάσει στην πτώση από τον 27ο το ξαναρίχνουμε από τον 39ο. (14+13+12)......ενδιαμέσως το πολύ άλλες 11 ρίψεις.
Και η διαδικασία επαναλαμβάνεται , συνεχώς πηγαίνοντας έναν όροφο μείον απότι στην τελευταία ρίψη, έως ότου σπάσει το πρώτο τηλέφωνο.
Αν γενικά σπάσει στη ν-οστή ρίψη θα χρειαζόμαστε ακόμη το πολύ 14-ν ρίψεις με το δεύτερο τηλέφωνο.
Αν φτάσουμε (για πολύ ανθεκτικά τηλέφωνα..) στην 11η επανάληψη της διαδικασίας θα είμαστε στον 99ο όροφο.
Μαθ.εξήγηση: 1+2+3+4+...+14=105
Καλημέρα κ. Ριζόπουλε
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολύ ενδιαφέρον θέμα!
Θέλω να σας υποβάλλω το παρακάτω ερώτημα:
Όταν λέτε "έναν ουρανοξύστη 100 ορόφων από τον οποίο μπορούμε να ρίχνουμε το τηλέφωνο", εννοείται
αυτό που λέμε εμείς οι μηχανικοί,
ένας ισόγειος όροφος και 99 πάνω από το ισόγειο όροφοι, σύνολον 100 όροφοι
ή αυτό που εννοούν συνήθως οι μη μηχανικοί
ένας ισόγειος όροφος και 100 όροφοι πάνω από τον ισόγειο όροφο=...100 όροφοι (μάλλον επειδή αυτοί αριθμούνται 1ος, 2ος,.....100ος, ενώ και ο ισόγειος είναι αριθμημένος, 0ος όροφος.
Βέβαια εσείς πρέπει να το γνωρίζετε αυτό, οι περισσότεροι ή αρκετοί μη μηχανικοί όμως όχι, γιαυτό σας ζητάω να το ξεκαθαρίσετε για να έχουμε όλοι και οι μηχανικοί και οι περισσότεροι ή αρκετοί μη μηχανικοί, έτσι ώστε όλοι οι συνμπλογκίτες να έχουμε τον ίδιο ουρανοξύστη(100 ή 101 ορόφων) στο μυαλό μας.
Έχω λύσει επιτυχώς ένα παραπλήσιο πρόβλημα, οπότε θα αργήσω λίγο να απαντήσω για να δοθεί ευκαιρία σε όποιον δεν το γνωρίζει και θέλει να ασχοληθεί με την επίλυση του και θα προσπαθήσω να τον γενικεύσω και ειρήσθω εν παρόδω αυτής της οπτικής γωνίας είμαι λάτρης και αν θέλετε της ολιστικής θεώρησης των πραγμάτων, δηλαδή της φιλοσοφίας, οι μαθηματικές επιστήμες είναι μία σημαντική συνιστώσα της γνώσης, αλλά και η ψυχολογία, κοινωνιολογία, η ιστορία, η πολιτική οικονομία, κλπ, εξίσου σημαντικές, αλλά συνιστώσες, συνισταμένη δε αυτών η φιλοσοφία!
Καλημέρα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι όροφοι είναι 100 συνολικά. Υπάρχουν δηλαδή 100 διαφορετικά ύψη για τις ρίψεις.
Ξεκινάμε τις ρίψεις με το 1ο τηλέφωνο από τον τελευταίο όροφο, τον 100ο,
ΑπάντησηΔιαγραφήέτσι έχουμε ρίψεις με το 1ο τηλέφωνο
1η από τον 100ο όροφο
2η .........99ο....
3η..........98ο....
...................
...................
100η από τον 1ο όροφο
Αν σπάσει το 1ο τηλέφωνο στον 100ο ξεκινάμε με το 2ο τηλέφωνο από τον 1ο,αλλιώς θα κινδυνεύουμε να ξεμείνουμε από τηλέφωνα, για να βρούμε ποιος είναι ο ψηλότερος που δεν σπάει, έτσι έχουμε με το 2ο τηλέφωνο, συνυπολογίζοντας και αυτήν του 1ου τηλεφώνου
2η από τον 1ο
3η.........2ο
.............
.............
και ενδέχεται να χρειασθεί να φτάσουμε μέχρι και τον 99ο για να διαπιστώσουμε αν αν είναι ο ψηλότερος που δεν σπάει και έτσι
100η από τον 99ο
Αν το 1ο τηλέφωνο δεν σπάσει από τον 100ο και σπάσει με την 2η του 1ου στον 99ο, πάλι με το 2ο
3η από τον 1ο
4η.........2ο
5η.........3ο
.............
.............
100η από τον 98
τα ίδια και για τον αμέσως παρακάτω και όλους τους παρακάτω ορόφους, μέχρι τον 2ο όροφο 99 ρίψεις με το 1ο τηλ. και 100η από τον 1ο ορ. με το 2ο τηλέφωνο
μέχρι και τον 1ο όροφο, οι 100 ρίψεις με το 1ο τηλέφωνο.
Αντιλαμβανόμαστε λοιπόν ότι με αυτήν την ακολουθία ρίψεων απαιτούνται 100 ρίψεις για τον κάθε όροφο για να διαπιστωθεί ότι είναι ο ψηλότερος που δεν σπάει το τηλέφωνο.
Άρα σύνολο ρίψεων και για τους 100 ορόφους
100*100=10.000 ρίψεις.
-Είναι φανερό ότι δεν χρειάζεται γενίκευση, γενικεύεται από μόνο του, αν όπου 100 ν όροφοι τότε Σ.Ρ. ν*ν
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήKύριε Αλεξίου, καλημέρα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΊσως να μην έχω αντιληφθεί κάτι σωστά σε σχέση με το σχόλιό σας,αλλά πώς γίνεται να θέλουμε πάνω από 100 ρίψεις για να βρούμε τον όροφο, αφού όλοι είναι 100 ;
Υπάρχει πάντως λύση με αριθμό ρίψεων αρκετά μικρότερο από 100.
Κι αν έχουμε 100 ρίψεις, δεν χρειαζόμαστε το 2ο τηλέφωνο. Ξεκινούμε από τον 1ο προς τα πάνω ,κι όπου σπάσει.
Έτσι δεν είναι;
Όχι, κύριε Ριζόπουλε, δεν είναι έτσι, δεν είναι καθόλου έτσι με βάση τα δεδομένα της εκφώνησης, που λέγαμε στα γυμνασιακά μας χρόνια.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό την απορία που εκφράζετε με την ερώτηση σας
"αλλά πώς γίνεται να θέλουμε πάνω από 100 ρίψεις για να βρούμε τον όροφο, αφού όλοι είναι 100 ;", μπορώ να φαντασθώ την έκπληξη σας, σχεδόν θα μείνατε εμβρόντητος μόλις διαβάσατε το σχόλιο μου.
Όμως αν ξαναδιαβάσετε τον γρίφο που αναρτήσατε θα διαπιστώσετε εύκολα ότι ζητάτε τον ΜΕΓΙΣΤΟ ΑΡΙΘΜΟ ΡΙΨΕΩΝ!
"Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ρίψεων με τον οποίο προσδιορίζουμε σίγουρα το ύψος,και με ποια ακριβώς ακολουθία ρίψεων τον πετυχαίνουμε;"΄
Έτσι σαυτό το ερώτημα η σωστή απάντηση είναι 100 με το 1ο τηλέφωνο (αυτός είναι ο μέγιστος αριθμός, 101 δεν γίνεται πράγματι και 10000 και με τα δύο τηλέφωνα
10001 δεν γίνεται.
Στο κεφάλαιο ρίψεις με 2 αντικείμενα από διάφορα ανά τακτά διαστήματα έχω κάνει σχεδόν διατριβή πριν από μερικούς μήνες στο ίδιο άλλο μπλόγκ, όπου ζητούσε τον ΕΛΑΧΙΣΤΟ απαραίτητο αριθμό ρίψεων για τον προσδιορισμό του και ακόμα πιο δύσκολα τον ελάχιστο μέσο όρο ρίψεων και κάπου στο διαδίκτυο υπάρχει ένας με 40 ή 50 ορ., δεν θυμάμαι, και θεώρησα ότι γνωρίζοντας τα αυτά αντιστρέψατε τελείως το πρόβλημα.
Εν κατακλείδι από το σχόλιο σας
"Υπάρχει πάντως λύση με αριθμό ρίψεων αρκετά μικρότερο από 100." αντιλαμβάνομαι ότι δεν ζητάτε τον μέγιστο αριθμό ρίψεων αλλά μάλλον τον ελάχιστο, αφού δεν είναι λογικό να λέτε υπάρχει και αρκετά μικρότερο από το 100.....μέγιστο?, δεν γίνεται, αρκετά μικρότερο του 100 ελάχιστο βεβαίως και υπάρχει και το γνωρίζω και για 100 και για,....,ν ορόφους.
Τελικά και για να μην σας ερμηνεύω άλλο, δεν είναι και σωστό, ποιο είναι το ζητούμενο του γρίφου?
ο μικρότερος αριθμός ρίψεων? κάτι άλλο?
Πάντως ο δαίμων του τυπογραφείου έκανε πολύ καλή δουλειά και μου έδωσε την ευκαιρία να ολοκληρώσω την...διατριβή μου από το ελάχιστο στο...μέγιστο!
Εύχομαι να μην σαν κούρασα πλατιάζοντας.
Nαι, έχετε δίκιο για τη γλωσσική μου παραδρομή!
ΑπάντησηΔιαγραφήΖητείται όντως ο ΕΛΑΧΙΣΤΟΣ δυνατός αριθμός ρίψεων που μας επιτρέπει να βρούμε το οποιοδήποτε ύψος αντοχής.
Αλλά τι νόημα θα είχε να ζητιόταν ο "μέγιστος", όταν είναι προφανώς 100 (ή μάλλον 99,αφού θεωρούμε ότι κάπου οπωσδήποτε σπάει)
Πάντως, έχετε απόλυτο δίκιο για το τυπικό της υποθέσεως και διορθώνω και την ανάρτηση,ζητώντας συγγνώμη από όλους τους φίλους.
Όντως δεν έχει νόημα η αναζήτηση του μέγιστου αριθμού ρίψεων γιατί τον βρίσκουμε πολύ εύκολα, αλλά σαυτό πρέπει να απαντήσει ο..δαίμων του τυπογραφείου, γιαυτό και στο σχόλιο μου αν προσέξατε ασχολήθηκα με την εύρεση του μέγιστου μέσου όρου ρίψεων που βέβαια είναι άλλο μέγεθος και θέλει κάποιο ψάξιμο για να φτάσουμε στο 10000/100όρ =100, ενώ μόνο με το ένα τηλέφωνο χωρίς το 2ο και χωρίς στρατηγική έχουμε μέσο όρο ρίψεων
ΑπάντησηΔιαγραφή100*(1+2+3+,...+100)/(2*100)=50,50 έναντι του μέγιστου 100.
Στο θέμα όπως διαμορφώθηκε, της εύρεσης του ελάχιστου αριθμού ρίψεων, αυτό επιτυγχάνεται με ρίψεις με το 1ο τηλέφωνο επιλέγοντας τους ορόφους με φθίνουσα, κατά μία μονάδα, αριθμητική πρόοδο.
Με την ακολουθία 13ος, 25ος(13+12),36ος(25+11) κλπ και με το 2ο τηλέφωνο καλύπτουμε τούς υπόλοιπους ορόφους και για κάθε όροφο το άθροισμα είναι 13, που είναι ο ελάχιστος αριθμός ρίψεων, αλλά καλύπτουμε κτήριο 91 ορόφων, δεν μας φτάνει.
Με την ακολουθία 14,27(14+13),39(27+12), κλπ και με το 2ο καλύπτουμε τους λοιπούς ορόφους και σε κάθε περίπτωση έχουμε άθροισμα 14 που είναι ο ελάχιστος αριθμός ρίψεων για κτήριο 105 ορόφων, έχουμε βέβαια "περίσσευμα" ορόφων άρα αναγκαστικά
14 είναι ο "μέγιστος" ελάχιστος (είναι μία υπόθεση πως προέκυψε το "μέγιστος") αριθμός ρίψεων.