Θα παίζατε στο καινούργιο παιχνίδι; Ποια είναι η αναμενόμενη μέση τιμή του (ελπίδα);
Σημ: Ένα παιχνίδι θεωρείται "τίμιο"/ισορροπημένο όταν η μαθηματική του ελπίδα (expectation) είναι 0. Αυτό σημαίνει ότι μακροπρόθεσμα σ'αυτό το παιχνίδι τα κέρδη σας εξισορροπούνται από τη χασούρα και έρχεστε " μία ή άλλη" ή "στα λεφτά σας".
Κρατήστε αυτό αν μπορείτε και μην δημοσιεύσετε ακόμα τη λύση.Θα κάτσω να το σκεφτώ όταν βρω χρόνο
ΑπάντησηΔιαγραφήΕίναι συνδυασμός γινομένων τριάδων.Άρα θα παίξουμε μπάλα με συνδυαστική
ΑπάντησηΔιαγραφήΣε περίπτωση που εμφανίζεται μία φιγούρα τότε έχουμε
(3 ανά 1) συνδυασμούς=(3!)/(2!)*1!=3
Άρα η πιθανότητα είναι
Πμία=3*(12*40*39)/((52*51*49)
Ομοίως για 2 φιγούρες
(3 ανά 2)=(3!)/(2!)*1!=3
Άρα Πδύο=3*(12*11*40)/((52*51*49)
και τέλος για 3 φιγούρες
(3 ανά 3)=(3!)/(0!)*3!=1
Πτρεις=1*(12*11*10)/((52*51*49)
Άρα Πολ=Πμία+Πδύο+Πτρεις=
=(3*(12*40*39)+3*(12*11*40)+1*(12*11*10))/(52*51*49)
Δηλαδή είναι σαν να τραβάμε στην τύχη κάποια χαρτιά το κόψιμο
Ως εδώ καλά?Αν μπορείτε πείτε μου για να κάνω και τις πράξεις όταν ξεμπερδέψω με κάτι που κάνω
@donaltios:εεμμ..όχι!:-)
ΑπάντησηΔιαγραφήMην το παραμπλέκεις το πράμα.Πρόσεξε ότι "κόψιμο" σημαίνει ουσιαστικά επανατοποθέτηση του χαρτιού που εμφανίζεται! Και μας ενδιαφέρει η "σύγκριση" δύο πιθανοτήτων. Της P(τουλάχιστον 1 φιγούρα) και της p(καμμία φιγούρα) αλλά σε τρείς προσπάθειες.
Η τράπουλα έχει 4 φιγούρες στα 13 διαφορετικά χαρτιά. Πιθανότητα για 0 φιγούρα σε ένα χαρτί(κόψιμο) 9/13.
Πιθαν. για 0 φιγούρες σε τρία χαρτιά,...αλλά βρες τα υπόλοιπα μόνος σου! :-)
Aaaa παρανόησα την εκφώνηση και ερμήνευσα αλλιώς το κόψιμο.Καλά θα το ξανακοιτάξω με τα νέα δεδομένα...
ΑπάντησηΔιαγραφήΣα φιγούρα μετράμε και τους άσσους?
ΑπάντησηΔιαγραφή@donaltios: Καλημέρα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΝαι, έγραψα 9/13 επειδή συνήθως τα καζίνα σαν "φιγούρα" (face card) θεωρούν και τον άσσο.
Αλλά για να είμαι συνεπής με την εκφώνηση και την επικρατούσα ελλην. ορολογία (φιφούρα=βαλές,ντάμα,ρήγας)
ας το υπολογίσουμε 10/13 :-)
Έστω
ΑπάντησηΔιαγραφήΠ1, η πιθανότητα να κόψουμε μία φορά τουλάχιστον φιγούρα και
Π0, η πιθανότητα καμία φιγούρα και στις 3 προσπάθειες.
Άρα Π1=1-Π0=1-(10/13)*(10/13)*(10/13),
(10/13) 3 φορές γιατί είναι με επανατοποθέτηση οι κάρτες.
Π1=1-0,4552=0,5448=54,48%>50%, άρα μας συμφέρει.
Οκ με κάλυψε ο κ. Αλεξίου(την ίδια ακριβώς λύση ετοιμαζόμουν να στείλω).Τελικά ήταν τόσο απλό...(παρανόησα την λέξη κόψιμο)
ΑπάντησηΔιαγραφήΈνα παίγνιο θεωρείται ισορροπημένο όταν η μέση αναμενόμενη τιμή του (ή το «μέσο κέρδος» του ή η «μαθηματική ελπίδα» του) είναι 0.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό σημαίνει πρακτικά, ότι σε μια ΜΑΚΡΑ σειρά παιχνιδιών θα έρθει κάποιος «πάτσι»
Ο ορισμός της μαθ. ελπίδας (expectation) αν το ενδεχόμενο x1 συμβαίνει με πιθανότητα p1, το x2 συμβαίνει με πιθανότητα p2, κ.λ.π, είναι:
E(x) = p1*x1 + p2*x2 + p3*x3 + ...... + p(ν)*x(ν)
Για να βρούμε τις πιθανότητες να έχουμε τουλάχιστον μία φιγούρα σε 3 δοκιμές, σκεφτόμαστε την πιθαν. να μην έχουμε καμία φιγούρα σε 3 δοκιμές, και αφαιρούμε αυτή την πιθαν. από το 1.
P(καμία φιγούρα) σε 3 προσπάθειες = (10/13)^3 = 0,455166
P(τουλάχιστον 1 φιγούρα) σε 3 προσπ. = 1 - (10/13)^3 = 0,544834
Η μαθ. μας ελπίδα είναι
= 1 x 0,544834 - 1 x 0,455166 = 0,089668
Με μικρή μεν ,αλλά πάντως θετική μαθ. ελπίδα ,θα άξιζε να παίξει κανείς (με την προϋπόθεση να ήταν διατεθειμένος να περάσει μεγάλο μέρος της ζωής του, και νάχει κάποια καβάντζα για να ξεπεράσει τα τυχόν «ακραία» διαστήματα «μη κανονικότητας», σ’αυτό το τραπέζι..)
Να σημειωθεί ότι αν συνυπολογίσει κάποιος και τους άσσους στις φιγούρες (όπως συνηθίζεται σε κάποια καζίνα) η μαθηματική ελπίδα /προσδοκία αυξάνεται σημαντικά και κάνει το παιχνίδι πολύ συμφέρον για τον παίκτη (και επειδή τα καζίνα ξέρουν καλά τα Μαθηματικά που τα αφορούν ,δεν προβλέπεται να δούμε σύντομα τέτοιο παιχνίδι..):-)
Σ’αυτή την περίπτωση λοιπόν, έχουμε:
P(καμία φιγούρα) σε 3 προσπάθειες = (9/13)^3 = 0,331816 P(τουλάχιστον 1 φιγούρα) σε 3 προσπ = 1 - (9/13)^3 = 0,66818
Η μαθ. μας ελπίδα είναι = 1 x 0,66818 - 1 x 0,331816 = 0.33637
Να προσθέσω (αν και είναι μάλλον προφανές) ότι οι μαθηματικές ελπίδες που υπολογίσαμε, έχουν τη "φυσική σημασία" ότι για κάθε 1 ευρώ που ποντάρουμε, αναμένουμε (in the long run..) να παίρνουμε πίσω 1,089 και 1,336 ευρώ, αντίστοιχα.
ΑπάντησηΔιαγραφή