▪ Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.)

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω $\alpha$ και $\beta$ δύο ακέραιοι, από τους οποίους ένας τουλάχιστον είναι διάφορος του μηδενός. Ορίζουμε ως μέγιστο κοινό διαιρέτη (Μ.Κ.Δ.) των $\alpha$ και $\beta$, και τον συμβολίζουμε με $(\alpha ,\beta )$, το μεγαλύτερο από τους θετικούς κοινούς διαιρέτες τους.

ΘΕΩΡΗΜΑ 

Αν $\alpha ,\beta$ είναι δύο φυσικοί αριθμοί και $\upsilon$ είναι το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με τον β, τότε

$(\alpha ,\beta )=(\beta ,\upsilon )$.

ΘΕΩΡΗΜΑ 

Αν $\delta$ είναι ο Μ.Κ.Δ. των $\alpha$ και $\beta$, τότε υπάρχουν ακέραιοι $\kappa$ και $\lambda$, τέτοιοι, ώστε 

$\delta =\kappa \alpha +\lambda \beta$.

ΠΟΡΙΣΜΑ 

Δύο ακέραιοι $\alpha ,\beta$ είναι πρώτοι μεταξύ τους, αν και μόνο αν υπάρχουν ακέραιοι $\kappa ,\lambda$, τέτοιοι, ώστε 

$\kappa \alpha +\lambda \beta =1$.

ΠΟΡΙΣΜΑ

Οι κοινοί διαιρέτες δύο ακεραίων $\alpha$ και $\beta$ είναι οι διαιρέτες του μέγιστου κοινού διαιρέτη τους.

ΠΟΡΙΣΜΑ 

Αν για τους ακεραίους $\alpha ,\beta ,\gamma$ ισχύει $\alpha \mid \beta \gamma$ και $(\alpha ,\beta )=1$ , τότε $\alpha \mid \gamma$.