Σε ένα τετραγωνικό οικόπεδο, χάριν ευκολίας ας θεωρηθεί πλευράς 1, υπάρχει ένα θαμμένο ,σε μικρό βάθος, ευθύγραμμο καλώδιο που διατρέχει (διατέμνει) το οικόπεδο ,αλλά δεν ξέρουμε την διεύθυνσή του. Ποιο είναι το ελάχιστο μήκος δοκιμαστικών εκσκαφών/σκαμμάτων που πρέπει να κάνουμε, ώστε να το εντοπίσουμε σίγουρα;
Μια λύση είναι τo σχήμα X, δηλαδή δύο αλληλοτεμνόμενες στο κέντρο του τετραγώνου εκσκαφές , κατά μήκος των δύο διαγωνίων. Μήκος εκσκαφής: $2\sqrt{2}$.
Υπάρχει "οικονομικότερη" λύση; Δηλαδή με μικρότερο συνολικό μήκος σκάμματος;
Σημ: Το πρόβλημα προέρχεται από το Πανεπιστήμιο Ντιουκ (Duke) της Β.Kαρολίνας (Η.Π.Α).
AΠΑΝΤΗΣΗ:
Η λύση είναι να γίνει εκσκαφή όπως στο σχήμα:
Η λύση είναι να γίνει εκσκαφή όπως στο σχήμα:
- (0,0) έως (x,x)
- (1,0) έως (x,x)
- (0,1) έως (x,x)
- (1/2,1/2) έως (1,1) (μισή διαγώνιος)
Σε δύο απέναντι πλευρές κατασκευάζω 2 όμοια ισοσκελή τρίγωνα, ενώνω τις κορυφές αυτών και είθε να μας δώσουν το ζητούμενο σχήμα εκσκαφής.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω Χ το ύψος του κάθε τριγώνου και Υ το κάθε σκέλος των ισοσκελών τριγώνων
Χ=0.50*εφθ= 0.50*ημθ/συνθ και
Υ=0.50/συνθ
Μήκος σκαψίματος 2*(2*0.5/συνθ+0.5-0.5ημθ/συνθ)
εξετάζω την παράσταση
{2*0.5/συνθ+0.5-0.5ημθ/συνθ}=
=(1-0.5ημθ)/συνθ+0.5 παραγωγίζουμε
{(1-0.5ημθ)'*συνθ-(1-0.5ημθ)*(συνθ)'}/συν^2(θ)=
{-0.5*συνθ*συνθ-(1-0.5ημθ)*(-ημθ)}/συν^2(θ)=
{-0.5*συν^2(θ)+ημθ-0.5*ημ^2(θ)}/συν^2(θ).
Επιλύω τηνεξίσωση
-0.5*συν^2(θ)+ημθ-0.5*ημ^2(θ)=0=>
ημθ=0.5*{ημ^2(θ)+συν^2(θ)}=0.5 =>
θ=30ο, και τα τρίγωνα (30,30,120)
εφόσον (ημ30)'=συν30>0
για θ=30 η παραπάνω παράσταση δίνει την ελάχιστη τιμή.
Συνεπώς το μικρότερο μήκος σκάμματος είναι:
(1-0.5*ημ30ο)/συν30ο+0.5=2.7320508...
Κύριε Αλεξίου, ωραία η λύση σας και βελτιώνει το 2,828 (περίπου)που αντιστοιχεί στο 2*sqrt2, αλλά υπάρχει και μικρότερη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΝα δώσω εγώ μια μικρότερη, με μήκας σκάμματος L=2+sgrt(2)/2=2,70710678....
ΑπάντησηΔιαγραφήελπίζοντας να είναι η ελαχίστη.
Αν ΑΒΓΔ είναι το τετράγωνο και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του τότε προτείνω το δοκιμαστικό σκάμμα να γίνει κατα μήκος των πλευρών ΑΒ , ΒΓ και να γίνει εκσκαφή της ΟΔ (της μισής διαγωνιου).
Έτσι Λ=(ΑΒ)+(ΒΓ)+(ΟΔ)=1+1+sgrt(2)/2=2+0,70710678..
L=2,70710678....
Nίκο, πολύ ωραία η ιδέα σου! ..αλλά υπάρχει έτι μικρότερη.Θα πω ότι ο στόχος (σύμφωνα με τη λύση που ΔΕΝ βρήκα,αλλά δεν άντεξα και την είδα :-)) είναι:
ΑπάντησηΔιαγραφή2.6389584338 (τώρα,γιατί τόση "δεκαδική" ακρίβεια, δεν ξέρω ειλικρινά!)
Επίσης, το σχήμα εκσκαφής που πρότεινε ο Ν.Λέντζος προσεγγίζει το σχήμα που δίνει την παραπάνω βέλτιστη τιμή. Η μισή διαγώνιος,ας πούμε, ισχύει.
ΑπάντησηΔιαγραφή2,64093 και πλησιάζω.
ΑπάντησηΔιαγραφήούτε δημοπρασία να ήταν!
Xα,χα, καλό! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφή(oπότε, δεν κατεβάζω το σφυρί ακόμη.. αλά ούνα,αλά ντούε, .. :-) )
2,6389596 και κουράσθηκα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΒελτιωμένη λύση της δικής μου προηγούμενης.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚρατώ το σκάμμα κατά μήκος της ΟΔ
Αντί των ΑΒ και ΒΓ προτείνω την εκσκαφή κατά μήκος των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΜ ΜΓ και ΜΒ όπου Μ σημείο επί της διαγωνίου ΒΔ και ανάμεσα στα Β και Ο, τέτοιο ώστε να απέχει απόσταση χ από τις πλευρές ΑΒ και ΒΓ (άγνωστη προς το παρόν που θα την υπολογίσω ευθύς αμέσως)
(ΒΜ)=χ*sqrt(2)
(AM)=(MΓ)=sqrt(2*x^2-2*x+1)
To μήκος του σκάμματος είναι:
L(x)=χ*sqrt(2)+2*[sqrt(2*x^2-2*x+1)]+sqrt(2)/2
με x στο διάστημα [0, 1/2]
L΄(x)=0 <---> x=(3-sqr(3))/6
Η L(x) παρουσιάζει ελάχιστο για
x=(3-sqrt(3))/6 =~ 0.2113248654
το Lmin=~ 2.6389584338...
O μειοδοτικός διαγωνισμός (κατά Αλεξίου ) νομίζω ότι πρέπει να θεωρηθεί περατωμένος και να κατωχειρωθεί.
..αλα τρέ! 1o χρυσούν μετάλλιο εξ αδιαιρέτου, μετά δόξης και τιμής!
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυγχαρητήρια και στους δύο εκλεκτούς φίλους για την φαντασία και την εργατική επιμονή τους!
Νίκο, ακριβώς αυτό το x: (3-sqrt(3))/6 =~ 0.2113248654)ήταν το κλειδί! Θερμές ευχαριστίες!
ΥΓ.Ποστάρω και την "επίσημη" απάντηση/σχήμα
Κύριε Ριζόπουλε, ευχαριστώ για το "εξ αδιαιρέτου" {πολύ καλό!:-)), αλλά νομίζω ότι ότι ανήκει κυρίως στον Λέντζο, λόγω μισής διαγωνίου,όσον αφορά εμένα μετά το σχόλιο σας στις 9.58 βρήκα σχεδόν αμέσως το σχήμα, προέκταση όμως της ήδη διατυπωμένης, κατά το ήμισυ τουλάχιστον, λύσης (μισή διαγώνιος) αλλά δεν προχώρησα σε παραγώγιση συνειδητά (όπως έκανα στην δική μου προσέγγιση), μη θέλοντας να δώσω την τελική λύση πατώντας πάνω σε ιδέα αλλουνού, έπαιξα με τον Τέκτονα(αρχιτεκτονικό σχεδιαστικό πρόγραμμα, η ενημέρωση είναι για τους μη μηχανικούς, εννοείται) και απλά δήλωσα με την σχεδιαστική προσέγγιση εμμέσως πλήν σαφώς ότι έχω βρει το τελικό σχήμα και αποχώρησα
ΑπάντησηΔιαγραφήαπό την...δημοπρασία! η...κατοχείρωση της οποίας δικαιωματικά ανήκε στον Λέντζο.
Τώρα που..περατώθηκε και..κατωχειρώθηκε!, να προσθέσω μία πιο "οικονομική" λύση, παίζοντας με τους αριθμούς και την στρογγυλοποίηση των δεκαδικών ψηφίων βέβαια και όχι επί της ουσίας.
Lmin=2.6389584337573