Έστω $a, b, c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε
$a^3+b^3+c^3=a^4+b^4+c^4$.
Να αποδειχθεί ότι
$\frac{a}{a^2+b^3+c^3}+\frac{b}{a^3+b^2+c^3}+\frac{c}{a^3+b^3+c^2}\geq 1$.
Turkey Junior National Olympiad 2012
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έχουμε την : α/(α^2+β^3+γ^3) + β/(α^3+β^2+γ^3)+ γ/(α^3+β^3+γ^2)
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή κάθε κλάσματος με α , β, γ αντίστοιχα και γίνεται:
α^2 / (α^3+αβ^3+αγ^3) + β^2 / (β^3+α^3β+βγ^3)+ γ^2 / (α^3γ+β^3γ+γ^3)
Βάσει της ανισότητας Κοσύ-Σβαρτς (Cauchy-Schwarz) ισχύει όμως:
α^2 / (α^3+αβ^3+αγ^3) + β^2 / (β^3+α^3β+βγ^3)+ γ^2 / (α^3γ+β^3γ+γ^3)≥
(α+β+γ)^2 / α^3 +β^3+γ^3 +α^3β+αβ^3+α^3γ+αγ^3+β^3γ+βγ^3 (1)
Στo δεξί μέλος της ανισότητας (1) αντικαθιστούμε -ως εκ της συνθήκης α^3+β^3+γ^3=α^4+β^4+γ^4 -και γίνεται:
=(α+β+γ)^2 / α^4 +β^4+γ^4 +α^3β+αβ^3+α^3γ+αγ^3+β^3γ+βγ^3 =
(α+β+γ)^2 / (α^3 +β^3 +γ^3)(α+β+γ) =
(α+β+γ)/(α^3+β^3+γ^3) (2)
Άρα ,βάσει των (1) και (2) αρκεί να αποδείξουμε ότι:
(α+β+γ)/(α^3+β^3+γ^3) ≥1
Ή: α+β+γ ≥ α^3+β^3+γ^3 (3)
Για να αποδείξουμε την (3) πρέπει να την φέρουμε σε μορφή γνωστής ανισότητας με κάποιο τέχνασμα.
Το κόλπο είναι να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με (α^4+ β^4 +γ^4)*(α^4 +β^4 +γ^4)
Οπότε η (3) -θέτοντας και στο δεξί μέλος α^4+β^4+γ^4=α^3+β^3+γ^3 -γίνεται:
(α+β+γ) (α^4+ β^4 +γ^4)(α^4 +β^4 +γ^4) ≥
( α^3+β^3+γ^3)*( α^3+β^3+γ^3)^2
(α+β+γ) (α^4+ β^4 +γ^4)(α^4 +β^4 +γ^4) ≥
( α^3+β^3+γ^3)^3 (4)
Που ισχύει, γιατί είναι η ανισότητα του Χέλντερ (Hoelder).
YΓ. Ωραία και βατή (σχετικά) ανισότητα!