Είστε στο λεωφορείο και πηγαίνετε στο σχολείο. Αν το λεωφορείο πηγαίνει με ταχύτητα 60 km/h, θα φτάσετε στο σχολείο νωρίς, ενώ αν πηγαίνετε με ταχύτητα 30 km/h, θα φτάσετε αργά. Αν ο χρόνος της καθυστέρησης είναι ο ίδιος με τον χρόνο της πρόωρης άφιξης, τότε με ποια ταχύτητα θα πρέπει να πηγαίνει το λεωφορείο για να φτάσετε στο σχολείο ακριβώς στην ώρα σας;
Η πρώτη σκέψη αφού ο χρόνος της καθυστέρησης είναι ο ίδιος με τον χρόνο της πρόωρης άφιξης ήταν “το ημιάθροιαμα των ταχυτήτων” δηλαδή 45 χλμ/ώρα. (ίσοι χρόνοι + -, ίσες ταχύτητες = + -30/2 = +- 15 δηλαδή 30+15=60-15=45 χλμ/ώρα .
ΑπάντησηΔιαγραφήΑλλά άς το δούμε δια της Φυσικής και χωρίς να χρειασθεί να καταφύγουμε
στις .....Διοφαντικές Εξισώσεις!
Έστω S η απόσταση στάσης λεωφορείου και σχολείου, t ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσουμε ακριβώς στο σχολείο ακριβώς στην ώρα που χρειάζεται και α η διαφορά του χρόνου πρόωρης-καθυστερημένης άφιξης.
Από την Φυσική ξέρουμε
S=60*(t-α)=30*(t+α)=30*(t+α),
60t-60α =30t+30α, 30t= 90α =>α=t*30/90=t/3
H εξίσωση S=60*(t-α) γίνεται S=60*(t-t/3)=60*2t/3=120t/3=40t (t=1,5 ώρες, S=60 χλμ )
Συνεπώς η ζητούμενη ταχύτητα είναι 40 χλμ/ώρα. (surprise!)
Επαλήθευση
με 60 χλμ/ώρα απαιτείται χρόνος 60/60= 1 ώρα
με 30 χλμ/ώρα απαιτείται χρόνος 60/30= 2 ώρες
Διαφορά χρόνου +- 1/2 της ώρας.
Mε 60km/h καλύπτουμε διπλάσιες αποστάσεις στο ίδιο χρονικό διάστημα απότι με ταχύτητα=30km/h.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓενικά όταν οι διακριτές σταθερές ταχύτητες βρίσκονται σε αύξουσα αριθμητική σειρά όπως εδώ ας πούμε:30, 60 οι αντίστοιχοι χρόνοι ,για να διανυθεί η ίδια απόσταση, βρίσκονται σε φθίνουσα αρμονική σειρά.
Στην περίπτωσή μας αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα έστω v που ψάχνουμε είναι: v=2*30*60/(30+60)= 3600/90 = 40Km/h.
Σημ. επειδή ίσως δεν είναι πολύ εποπτικό το παραπάνω το αναλύω:
Ας σκεφτούμε το εξής: To λεωφορείο με 60km/h καλύπτει σε ,ας πούμε χάριν ευκολίας 1 ώρα, απόσταση 60 χιλ. Στην ίδια 1 ώρα με 30 km/h καλύπτονται 30 χιλ. = η μισή απόσταση. Από το δεδομένο του προβλήματος ότι ο χρόνος που αντιστοιχεί στο διάστημα υπέρβασης του σχολείου για το 60άρι είναι όσος ο χρόνος που αντιστοιχεί στο διάστημα υστέρησης για το 30άρι ,και με δεδομένο ότι το σχολείο βρίσκεται έστω απόσταση x ΠΡΙΝ από το τέρμα της διαδρομής του 60ριού,έχουμε ότι το 30άρι θα χρειάζεται 2x επιπλέον για να κάνει την ίδια απόσταση μέχρι το σχολείο. (αφού έχει μιση ταχύτητα από το 60άρι)
Αλλά, x+2x=60/2= 30 χιλιόμετρα. Άρα 3x=30 ή x=10 χιλιόμετρα
Άρα στο σενάριό μας το σχολείο απέχει από την αρχή 30+x=40 χιλιόμετρα ,κι αυτό σημαίνει ότι ένα όχημα με μέση (ή σταθερή) ωριαία 40 km/h το φτάνει ΑΚΡΙΒΩΣ.