Οι αριθμοί $a, b, c, d, e, f$ και $g$ είναι διαδοχικοί μη μηδενικοί ακέραιοι αριθμοί, κατά αύξουσα σειρά.
Αν ο αριθμός
$a + b + c + d + e + f + g$
είναι τέλειος κύβος και ο αριθμός
$c + d + e$
είναι τέλειο τετράγωνο, να βρεθεί η μικρότερη τιμή του αριθμού $d?
Έστω ότι d=α τότε οι αριθμοί είναι
ΑπάντησηΔιαγραφήα-3, α-2, α-1, α, α+1, α+2, α+3 και τα αθροίσματα γίνονται
a+b+c+d+e+f+g =(α-3+α-2+α-3+α+α+1+α+2+α+3)=7α που πρέπει να είναι τέλειος κύβος, (7κ)^3 (1)
και c+d+e=α-1+α+α+1=3α που πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, (3λ)^2 (2)
για κ=1 7^3=343=7α =>α=49
η (2) γίνεται 3α=3*49=147, απορρίπτεται, μη τέλειο τετράγωνο
για κ=2 (2*7)^3=2744 =>7α=2744 =>α=392
η (2) γίνεται 3*α=3*392=1176, απορρίπτεται, μη τέλειο τετράγωνο
για κ=3 (3*7)^3=21^3=9261 =>7α=9261 =>α=1323
η (2) γίνεται 3α=3*1323=3969 =63^2, δεκτή
Συνεπώς d=α=1323
a+b+c+d+e+f+g = 7*(a+3) = 7*d = m^3
ΑπάντησηΔιαγραφήc+d+e = 3*(a+3) = 3*d = n^2
Άρα: min (3^3 * 7^2) = 1320
Το άθροισμα ακεραίων a+ b+ c +d +e +f +g εφόσον οι αριθμοί είναι διαδοχικοί ,μπορεί να γραφτεί:
ΑπάντησηΔιαγραφή(d-3) + (d-2) +(d-1) + d + (d+1)+(d+2)+(d+3) =7*d
Oμοίως ο αριθμός (d-1) + d + (d+1)=3*d (που αντιστοιχεί στον c+d+e)
Ψάχνουμε λοιπόν ακέραιους που να ικανοποιούν ταυτόχρονα τις:
7d=k^3
3d=n^2
ή ακέραιες λύσεις στην διοφαντική εξ. 7/3 = x^3 / y^2
Δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις. Η ποσότητα sqrt.(3/7) δεν μπορεί ποτέ να είναι ρητή αφού 3 και 7 είναι πρώτοι.
Και ένας τέλειος κύβος της μορφής 7κ πρέπει να αναλύεται σε πρώτους παράγοντες ανά τριπλέτες του 7 (7^3, 7^6, 7^9..) που δεν συνάδει με το 3κ τέλειο τετράγωνο.
H απάντησή μου είναι προφανώς λάθος! mea culpa!
ΑπάντησηΔιαγραφή1323 το σωστό d.