▪Μαθηματική Επαγωγή

1) Να αποδειχθεί ότι:

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}\le 2\sqrt{n}$.

2) Να αποδειχθεί ότι:

$2!\cdot 4!\cdot 6!\cdot \cdot \cdot (2n)!\ge ((n+1)!{)}^n$.

3) Να αποδειχθεί ότι:

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+.....\sqrt{2}}}}=2cos\frac{\pi }{2^{n+1}}$.

(n ριζικά)

4) (Chebyshev Polynomials) Ορίζουμε τα πολυώνυμα $P_i(x)$ ως εξήs:

$P_0(x)=1$

$P_1(x)=x$

$P_{n+1}(x)=x{P}_n(x)-P_{n-1}(x)$, για $n>0$.

Να αποδειχθεί ότι:

$P_n(2cos\theta )=\frac{sin(n+1)\theta }{sin\theta }$.

5) Να αποδειχθεί ότι:

$sin\theta +sin2\theta +sin3\theta +···+sin(n\theta )=$

$=\frac{sin\frac{(n+1)\theta }{2}sin\frac{n\theta }{2}}{sin\frac{\theta }{2}}$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com