▪Μαθηματική Επαγωγή

1) Να αποδειχθεί ότι:

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}\leq{2\sqrt{n}}$.

2) Να αποδειχθεί ότι:

$2!\cdot{4!}\cdot{6!}\cdot\cdot\cdot(2n)! ≥ ((n + 1)!)^n$.

3) Να αποδειχθεί ότι:

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+.....\sqrt{2}}}}=2cos\frac{π}{2^{n+1}}$.

(n ριζικά)

4) (Chebyshev Polynomials) Ορίζουμε τα πολυώνυμα $P_i(x)$ ως εξήs:

$P_0(x) = 1$

$P_1(x) = x$

$P_{n+1}(x) = xP_n(x) − P_{n−1}(x)$, για $n > 0$.

Να αποδειχθεί ότι:

$P_n(2 cos θ) =\frac{sin(n + 1)θ}{sinθ}$.

5) Να αποδειχθεί ότι:

$sinθ + sin2θ + sin3θ + · · · + sin(nθ) =$

$= \frac{sin\frac{(n+1)θ}{2}sin\frac{nθ}{2}}{sin\frac{θ}{2}}$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com