α) Μια ημέρα η Αναστασία έγραψε $14$ αριθμούς σε έναν κύκλο, έτσι ώστε κάθε αριθμός να είναι ίσος με το άθροισμα των δύο γειτονικών αριθμών του. Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των $14 $ αριθμών είναι $0$.
β) Μια άλλη ημέρα η Αναστασία έγραψε $21$ αριθμούς σε έναν κύκλο, αλλά αυτή τη φορά κάθε αριθμός ήταν ίσος με το μισό του αθροίσματος των δύο γειτονικών αριθμών του. Ποιο είναι το άθροισμα των $21$ αριθμών, αν ένας από τους αριθμούς αυτούς είναι $3$?
Berkeley Math Circle 2003
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Α) Έστω Σ το άθροισμα των 14 αριθμών
ΑπάντησηΔιαγραφήΣ= χ1+χ2+…+χ14
Ισχύει χ(ν) =χ(ν-1) + χ(ν+1)
Άρα έχουμε τις ισότητες
χ1=χ14+χ2
χ2=χ1+χ3
χ3=χ2+χ4
……………
χ13 = χ14+χ12
χ14=χ13+χ1
Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάνω εξισώσεις στο πρώτο μέλος έχουμε χ1+χ2+…+χ14=Σ και στο δεύτερο 2*(χ1+χ2+…χ14) =2Σ (κάθε αριθμός χ(ν), δεξιά εμφανίζεται δις.
Άρα έχουμε Σ=2Σ ,άρα Σ=0
Β) Εφόσον κάθε αριθμός από τους 21 είναι ο μέσος όρος των γειτόνων του ,δεν μπορεί παρά να είναι όλοι ίδιοι , άρα ,εφόσον ένας =3, τότε όλοι είναι ίσοι με 3.
Σ= 3*21=63
Διευκρίνιση στο β)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό φυσικά ισχύει γιατί η διάταξη των 21 αριθμών είναι κυκλική. (κλείνει)και όχι γενικά για αριθμούς εν σειρά.