Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2013

▪ Γερμανικό σύστημα

Στο σύνολο των ακεραίων αριθμών, να λυθεί το σύστημα
$y^3-4y^2-16y+60=z$
$y^3-4y^2-16y+60=z$
$z^3-4z^2-16z+60=x$.
Germany Bundeswettbewerb Mathematik 2003
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 15.1.13
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS15 Ιανουαρίου 2013 στις 11:43 μ.μ.

    Υπάρχει ένα φανερό τυπογραφικό σφάλμα/επανάληψη της (2)
    Υποθέτω (κατά λογική και «συμμετρική ως προς τις μεταβλητές» ας πούμε, αναλογία με τις δύο σωστές, ότι το ακριβές σύστημα είναι:
    (1) x^3− 4 x^2 − 16 x + 60 = y
    (2) y^3− 4 y^2 − 16 y + 60 = z
    (3) z^3 − 4 z^2 − 16 z + 60 = x

    H (1) γίνεται
    X^3 − 4 x^2 − 16 x + 60 = y ⇔ x^3− 16 x − 4 x^2 + 64 = y + 4
    ⇔ x(x^2 − 16) − 4(x^2 − 16) = y +4 ⇔ (x−4)(x^2−16) = y +4 ⇔ (x−4)^2(x+4) = y + 4. Ανάλογους μετασχηματισμούς κάνουμε και για τις (2) και (3) και τελικά έχουμε:
    (1') (x − 4)^2(x + 4) = y + 4
    (2') (y − 4)^2(y + 4) = z + 4
    (3') (z − 4)^2(z + 4) = x + 4.
    Προφανώς η (x,y,z)=(−4,−4,−4) είναι μια ακέραια λύση (μια και δίνουν 0=0)

    ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΓΙΑ ΑΛΛΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
    Για τυχόν άλλες τριαδες λύσεων θα πρέπει τουλάχιστον ένα από τα {x,y,z} να μην έχει την τιμή -4 . Έστω ότι x ≠ −4. Tότε όμως από την
    (3') έχουμε x+4 ≠ 0 ⇒ z+4 ≠ 0, από την εξίσωση (2') z+4 ≠ 0 ⇒ y+4 ≠ 0. (εάν z ≠ −4 ή y ≠ −4)
    Με την ίδια κυκλική αιτιολόγηση ομοίως αν ξεκινήσουμε και με την εξίσωση (2'), και με την (1') προκύπτει επαγωγικά ότι δεν μπορεί να υπάρχει τριπλετα άλλης ακέραιας λύσης με x ή y ή z =-4
    Ισχύει λοιπόν(με πολ/σμό κατά μέλη):
    (x − 4)^2(x + 4) (y − 4)^2(y + 4) (z − 4)^2(z + 4) = (x + 4)(y + 4)(z + 4) .
    Διαιρούμε με το δεξί σκέλος (μη μηδενικό λόγω του ότι όλα ≠ −4) και έχουμε:
    (x − 4)^2 * (y − 4)^2 * (z − 4)^2 = 1.

    Eφόσον x,y,z ακέραιοι , κάθε παράγοντας αριστερά –σαν τετράγωνο ακεραίου- είναι επίσης ακέραιος θετικός (μάλλον μη αρνητικός)
    Ένα γινόμενο όμως μη αρνητικών ακεραίων που ισούταιμε 1 ,σημαίνει ότι όλοι οι παράγοντες είναι=1, ήτοι (x − 4)^2 = 1, άρα το μέτρο(απόλυτη τιμή) του |x − 4| = 1, επομένως x = 3 ή x = 5 (και ομοίως βέβαια για τα y και z)
    Έτσι προκύπτει ότι οι τριάδες (3,3,3) και (5,5,5) και ΜΟΝΟ αυτές (μαζί με την (-4,-4,-4) είναι οι λύσεις που ψάχνουμε.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)