▪ Γεωμετρία - Άσκηση 485

Έστω τρίγωνο $ABC$, $H$ το ορθόκεντρο του, $O$ το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου. Να αποδειχθεί ότι

α) $|OH|=R\sqrt{1-8\cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma }$, 
όπου $\alpha ,\beta ,\gamma$, οι γωνίες του τριγώνου 

β) $O\equiv H$, αν και μόνο αν, το τρίγωνο $ABC$ είναι ισόπλευρο.

IMO Longlists 1971
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com