Έστω τραπέζιο $ABCD$, ($AB\parallel{CD}$) και $M$ το μέσο της $AD$.
Αν $\angle{MCB}= 150^0$, $BC = x$ και $MC = y$, να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου συναρτήσει των $x$ και $y$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
1st Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe 1999
Έστωσαν N το μέσον της BC (=>NC=x/2), O, R και P οι προβολές του C στις MN, AB και MC αντίστοιχα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπειδή γωνία MCB=150o, έπεται ότι NCP=30o συνεπώς NP=NC/2=x/4
Τρίγωνο NCP ορθογώνιο στο P => CP^2=NC^2-NP^2=x^2 /4-x^2 /16=3x^2/16 =>CP=χ*ρίζα(3)/4
Εμβαδόν Ε(NCP)=(x*ρίζα(3)/4))*χ/(4*2=8)=χ^2*ρίζα(3)/(4*8=32)
MNP ορθογώνιο στο P =>
MN^2=MP^2+NP^2=(y+ χ*ρίζα(3)/4)^2+(x/4)^2=
= y^2+(χ*ρίζα(3)/4)^2+2xy*ρίζα(3)/4+x^2/16= y^2+χ^2*3/16+ 2xy*ρίζα(3)/4+x^2/16=
=y^2+χ^2*(3+1=4)/16+ 2*xy*ρίζα(3)/4=y^2+χ^2/4+ 2xy*ρίζα(3)/4=
={4y^2+ χ^2+2xy*ρίζα(3))/4 =>
MN= ρίζα(4y^2+ χ^2+2xy*ρίζα(3)/4
E(MNP)=(MP)*(NP)/2=}(y+ χ*ρίζα(3)/4)*x/4)}/2={xy/4+x^2*ρίζα(3)/16}/2=
xy/8 + x^2*ρίζα(3)/32
E(MNC)=E(MNP)-E(NPC)={xy/8+x^2*ρίζα(3)/32-χ^2*ρίζα(3)/32=xy/8
Όμως το εμβαδόν του τριγώνου MNC δίνεται και από την σχέση
Ε(MNC)=(MN)*(OC)/2 => (MN)*(OC)/2 =xy/8 =>
(MN)*(OC)=2 xy/8 => (OC)= 2 xy/(8MN)
CR=2*(OC)=2*2 xy/(8MN)=4xy/(8MN)
Εμβαδόν τραπεζίου ABCD={(DC+AB)/2}*CR
επειδή (DC+AB)/2=MN =>
E( ABCD)=MN*CR=MN*4xy/(8MN)=4xy/8=xy/2