Έστω τετράγωνο $ABCD$ με κέντρο $Μ$ και μήκος διαγωνίων $2$ . Έστω ευθεία $(ε)$ που απέχει από το σημείο $Μ$ απόσταση μεγαλύτερη από $1$ και έστω $A',B',C'$ και $D'$ είναι οι ορθές προβολές των $A, B, C$ και $D$ πάνω στην ευθεία $(ε)$. Περιστρέφουμε το τετράγωνο έτσι ώστε το σημείο $Μ$ να παραμείνει σταθερό. Τα
σημεία $A,B,C,D,A',B',C',D'$ μεταβάλλονται. Nα αποδείξετε ότι η τιμή της παράστασης
$AA'^{2}+BB'^{2}+CC'^{2}+DD'^{2}$
παραμένει σταθερή.
Netherlands Mathematical Olympiad 1999
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com 
Ωραίο πρόβλημα κύριε Ρωμανίδη! Διαισθητικά το ζητούμενο δείχνει σίγουρο (αν σκεφτούμε ίσως τον περιγεγραμενο κυκλο του τετραγωνου και σημεια στην περιφερεια του (τις κορυφες του τετραγωνου) να περιστεφεται γύρω από το κέντρο του ,αλλά η διαισθηση δεν είναι απόδειξη!
ΑπάντησηΔιαγραφήM'είναι η προβολή του M πάνω στην ε. Αν προβάλουμε τα A, B, C and D πάνω στην ευθελια MM '. θα έχουμε έστω MA, MB, MC and MD οι υποτεινουσες 4 ίδιων ορθογωνίων τριγώνων με κάθετες πλευρές το καθένα έστω x(meg;alh k;auetow) και y(μικρή κάθετος) ,όπου ισχύει ΑΑ'-CC'=2x και ΒΒ'-DD'=2y Οι πλευρες του τετραγώνου είναι συνεχώς παραλληλες σε αυτές ενός απ'αυτά τα ίδια τριγωνα και στην ευθεία ε ή την MM '. Δεν είναι εύκολο να εξηγείς γεωμετρία χωρίς σχήμα, αλλά προσπάθησα.:-)
Ετσι έχουμε τις σχέσεις:
(AA '+ CC')^ 2 = (2MM ') ^2 (από το τραπέζιο ΑΑ'CC' , MM' = διάμεσος)
(BB '+ DD')^ 2 = (2MM ')^ 2 (ομοίως αντίστοιχα)
(AA '- CC') ^2 = (2x)^ 2
(BB '- DD ') ^2 = (2y) ^2
Αθροίζοντας κατα μέλη
2AA'^2 2BB'^2 ++ 2CC'^2 + 2DD'2 = 2MM'^2 + 4x^2 + 4y^2
αλλά απο το Πυθαγόρειο έχουμε: x2 + y2 = AM^2 (= 1) άρα:
AA'^2 + BB'^2 +CC'^2 + DD'^2 = 4MM'^2 + 2AM^2 που είναι σταθερό για κάθε δεδομένη ε. Ita est!
Σίγουρα λύνεται και με αναλυτική γεωμετρία ,αλλά ας το κάνει κάποιος άλλος φίλος.. :-)
H λύση που προτείνω δεν διαφέρει ουσιαστικά απο την ήδη αναρτημένη, είναι μια άλλη εκδοχή ίδιας περίπου προσέγγισης.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω (δ) ευθεία παράλληλη της (ε) και διερχόμενη από το Μ
Εστω Μ! Η προβολή του Μ πάνω στην (ε)
Έστωσαν επίσης A!!, B!!, C!!, D!! οι ορθές προβολές των Α, B,C, D πάνω στην (δ)
Κάνω τις παρακάτω πράξεις
AA!^2=(A!A!!+AA!!)^2=A!A!!^2+AA!!^2+2A!A!!*AA!! (1)
BB!^2=(B!B!!+BB!!)^2=B!B!!^2+BB!!^2+2B!B!!*BB!! (2)
CC!^2=(C!C!!-CC!!)2=C!C!!^2 + CC!!^2-2C!C!!*CC!! (3)
DD!^2=(D!D!!-DD!!)2=D!D!!^2 + DD!!^2-2D!D!!*DD!! (4)
επειδή (ε) παράλληλη της (δ) έπεται ότι
A!A!!=B!B!!=C!C!!=D!D!!=MM!
και επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα AA!!M και MC!C!! είναι ίσα (ίσες γωνίες και AM=MC=1/2 της διαγωνίου AC καθώς και τα ορθ. τρίγωνα DD!! και MBB!!(επίσης ίσες γωνίες και DM=MB=1/2 της διαγωνίου DB συνεπάγεται ότι AA!!=CC!! BB!!=DD!!
Oι σχέσεις 1,2,3,4 γίνονται
AA!^2=MM!^2+AA!!^2+2MM!*AA!! (1)
BB!^2=MM!^2+DD!!^2+2MM!*DD!! (2)
CC!^2=MM!^2+AA!!^2-2MM!*AA!! (3)
DD!^2=MM!^2+DD!!^2-2MM!!*DD!! (4)
Αθροίζοντας τις 1,2,3,4 έχω σαν αποτέλεσμα:
AA!^2+BB!^2+CC!^2+DD!^2=4* MM!^2+2*(AA!!^2+DD!!^2) (5)
και η τελευταία σκόπελος, η σύνδεση του AA!! με το DD!!
Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΑ!!Μ και MD!!D έχουν τις υποτείνουσες AM και MD ίσες,
επίσης γωνία ΑMA!!=90o-D!!MD=MDD!!, συνεπώς είναι ίσα άρα και οι πλευρές AA!! και D!!M
είναι ίσες.
Αντικαθιστώ την AA!! με την D!!M στην σχέση (5), η οποία γίνεται
AA!^2+BB!^2+CC!^2+DD!^2=4* MM!^2+2*(D!!M^2+DD!!^2) (5)
Τρίγωνο DD!!M ορθογώνιο, εφαρμογή Πυθαγορείου θεωρήματος =>
D!!M^2+DD!!^2)=DM^2 και η σχέση (5) εντέλει γίνεται
AA!^2+BB!^2+CC!^2+DD!^2 =4* MM!^2+2* DM^2
Επειδή MM! Σταθερή (M, M! σταθερά σημεία) και η τιμή της DM παραμένει σταθερή (=1/2 διαγωνίου DB) κατά την περιστροφή του τετραγώνου, η τιμή της παράστασης
4* MM!^2+2* DM^2 παραμένει σταθερή.Συνεπώς και η τιμή της παράστασης
AA!^2+BB!^2+CC!^2+DD!^2 παραμένει σταθερή