▪ Γεωμετρία - Άσκηση 475

Έστω τετράγωνο $ABCD$ με κέντρο ${\rm M}$ και μήκος διαγωνίων $2$ . Έστω ευθεία $(\epsilon )$ που απέχει από το σημείο ${\rm M}$ απόσταση μεγαλύτερη από $1$ και έστω $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ και $D^{\prime }$ είναι οι ορθές προβολές των $A,B,C$ και $D$ πάνω στην ευθεία $(\epsilon )$. Περιστρέφουμε το τετράγωνο έτσι ώστε το σημείο ${\rm M}$ να παραμείνει σταθερό. Τα

σημεία $A,B,C,D,A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ μεταβάλλονται. Nα αποδείξετε ότι η τιμή της παράστασης

$A{A}^{\prime 2}+B{B}^{\prime 2}+C{C}^{\prime 2}+D{D}^{\prime 2}$

παραμένει σταθερή. 

Netherlands Mathematical Olympiad 1999

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com